según que r sea mayor o menor que la unidad.
La primera fracción es
| arrrr - a | , o (192) | e - a | . |
|---|---|---|---|
| r - 1 | r - 1 |
Del mismo modo, el segundo es
| a - e | . |
|---|---|
| 1 - r |
La regla, por lo tanto, es: Para sumar n términos de una proporción continua, divídase la diferencia entre el (n + 1)-ésimo y el primer término por la diferencia entre la unidad y la medida común. Por ejemplo, se requiere la suma de 10 términos de la serie 1 + 3 + 9 + 27 + etc. El undécimo término es 59049, y ⁽⁵⁹⁰⁴⁹ ⁻ ¹⁾/₍₃₋₁₎ es 29524. Nuevamente, la suma de 18 términos de la serie 2 + 1 + ½ + ¼ + etc. cuyo decimosenovo término es ¹/₁₃₁₀₇₂, es
| 1 | |||
|---|---|---|---|
| 2 - | ——— | ||
| 131072 | 131070 | ||
| ————— | = 3 | ——— . | |
| 1 - ½ | 131072 |
EJEMPLOS.
| 9 términos de | 1 | + | 4 | + | 16 | + etc. son | 87381 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 10 ...... | 3 | + | 6 | + | 12 | + &c. ... | 847422675 |
| 7 | 49 | 201768035 | |||||
| 20 ...... | 1 | + | 1 | + | 1 | + &c. ... | 1048575 |
| 2 | 4 | 8 | 1048576 |
Las potencias de un número o fracción mayor que la unidad aumentan; pues, como 2½ es mayor que 1, 2½ × 2½ es 2½ tomado más de una vez, es decir, es mayor que 2½, y así sucesivamente. Este aumento continúa sin límite; es decir, no hay cantidad tan grande que alguna potencia de 2½ no la supere. Para demostrar esto, obsérvese que cada potencia de 2½ se forma multiplicando la potencia anterior por 2½, o por 1 + 1½, es decir, sumando a la potencia anterior esa misma potencia y su mitad. Por lo tanto, se sumará más a la 10.ª potencia para formar la 11.ª que lo que se sumó a la 9.ª potencia para formar la 10.ª. Pero es evidente que si una cantidad dada, por pequeña que sea, se suma continuamente a 2½, el resultado llegará con el tiempo a exceder cualquier otra cantidad que también haya sido dada, por grande que sea; con mucha más razón lo hará si la cantidad sumada a 2½ aumenta en cada paso, lo cual ocurre cuando se forman las potencias sucesivas de 2½. Es evidente también que las potencias de 1 nunca aumentan, siendo siempre 1; así, 1 × 1 = 1, etc.