luego dividir el cociente por 9, es lo mismo que dividir el número mismo por 4 × 9, o por 36. Entonces, dado que 36 es una medida común de 360 y 504, y es mayor que 4, 4 no es el máximo común divisor. Nuevamente, dado que 10 y 14 son ambos divisibles por 2, 36 no es el máximo común divisor. De ello se sigue que, cuando dos números se dividen por su máximo común divisor, los cocientes no tienen ninguna medida común excepto 1 (99). De otro modo, el número que se llamó máximo común divisor en la última oración no lo es en
- Para hallar la mayor medida común de tres números, hállese la m. c. m. del primero y del segundo, y de esta y el tercero. Pues como todos los divisores comunes del primero y del segundo están contenidos en su m. c. m., y ningún otro, todo lo que es común al primero, al segundo y al tercero, lo es también al tercero y a la m. c. m. del primero y del segundo, y ningún otro. De igual manera, para hallar la m. c. m. de cuatro números, hállese la m. c. m. del primero, del segundo y del tercero, y de esta y el cuarto.
- Cuando un primer número contiene a un segundo, o es divisible por él sin residuo, el primero se llama múltiplo del segundo. Las palabras múltiplo y medida están así conectadas: Puesto que 4 es
una medida de 24, 24 es un múltiplo de 4. El número 96 es un múltiplo de 8, 12, 24, 48 y varios otros. Por lo tanto, se le llama un múltiplo común de 8, 12, 24, 48, etc. El producto de dos números cualesquiera es evidentemente un múltiplo común de ambos. Así, 36 × 8, o 288, es un múltiplo común de 36 y 8. Pero hay múltiplos comunes de 36 y 8 menores que 288; y debido a que es conveniente, cuando se requiere un múltiplo común de dos cantidades, usar el menor de ellos, ahora muestro cómo hallar el mínimo común múltiplo de dos números.
- Tomemos, por ejemplo, el 36 y el 8. Halla su máximo común divisor, que es 4, y observa que el 36 es 9 × 4, y el 8 es 2 × 4. Los cocientes de 36 y 8, al dividirlos por su máximo común divisor, son por lo tanto 9 y 2. Multiplica estos cocientes entre sí, y multiplica el producto por el máximo común divisor, 4, lo que da 9 × 2 × 4, o
- Este es un múltiplo de 8, o de 4 × 2 según (55); y también de 36 o de 4 × 9. Es también el mínimo común múltiplo; pero esto no se te puede demostrar, porque la demostración no se puede comprender del todo sin más práctica en el uso de letras para representar números. Pero puedes convencerte de que es el menor en este caso, y de que el mismo procedimiento dará el mínimo común múltiplo en cualquier otro caso que elijas. Ni siquiera es necesario que sepas que es el menor. Siempre que se deba usar un múltiplo común, cualquiera servirá tan bien como el menor. Es solo para evitar números grandes que se prefiere el menor a cualquier otro.
Cuando el máximo común divisor es 1, el mínimo común múltiplo de los dos números es su producto.
La regla entonces es: Para hallar el mínimo común múltiplo de dos números, hállese su máximo común divisor, y multiplíquese uno de los números por el cociente que da el otro al ser dividido por el máximo común divisor. Para hallar el mínimo común múltiplo de tres números, hállese el mínimo común múltiplo de los dos primeros, y hállese el mínimo común múltiplo de dicho múltiplo y el tercero, y así sucesivamente.