y así sucesivamente. Pero hemos hecho algo más que simplemente ascender de nuevo a la fracción original por medio de los cocientes. El conjunto de fracciones, ¹/₁, ²/₃, ⁷/₁₀, ⁹/₁₃, etc., se van aproximando continuamente en valor a la fracción original; la primera es demasiado grande, la segunda demasiado pequeña, la tercera demasiado grande, y así alternativamente, pero cada una de ellas está más cerca de la dada que cualquiera de las anteriores. Así, ¹/₁ es demasiado grande, y ²/₃ es demasiado pequeña; pero ²/₃ no es tan pequeña como ¹/₁ es grande. Y de nuevo, ⁷/₁₀, aunque demasiado grande, no es tan grande como ²/₃ es pequeña.
Además, la diferencia entre cualquiera de las fracciones y la fracción original nunca es mayor que una fracción que tenga la unidad por numerador y el producto del denominador por el denominador siguiente por denominador.
Así, ¹/₁ no yerra en tanto como ¹/₃, ni ²/₃ en tanto como ¹/₃₀, ni ⁷/₁₀ en tanto como ¹/₁₃₀, ni ⁹/₁₃ en tanto como ¹/₂₉₉, &c.
Por último, ninguna fracción con un numerador y un denominador menores puede aproximarse tanto a la fracción dada como cualquiera de las fracciones de la lista. Así, ninguna fracción con un numerador menor que 249 y un denominador menor que 358 puede aproximarse tanto a
| 9131 | como | 249 | . |
|---|---|---|---|
| 13128 | 358 |
El lector puede tomar cualquier ejemplo por sí mismo, y la prueba de la precisión del procedimiento es el retorno final a la fracción con la que se comenzó. Otra prueba es la siguiente: el numerador de la diferencia de dos fracciones aproximadas consecutivas debe ser la unidad. Así, en nuestro ejemplo, tenemos ¹⁶/₂₃ y ²⁴⁹/₃₅₈, las cuales, con un denominador común, 23 × 358, tienen a 5728 y 5727 como numeradores.
Como otro ejemplo, examinemos esta cuestión: La duración del año es de 365,24224 días, lo que en la vida ordinaria se denomina 365¼ días. Tomemos la fracción ²⁴²²⁴/₁₀₀₀₀₀ y procedamos según la regla.
- 24224)100000(4, 7, 1, 4, 9, 2
- 2496 3104
- 64 608
- 0 32
| 1 | 7 | 8 | 39 | 359 | 757 |
|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 29 | 33 | 161 | 1482 | 3125 |
y ⁷⁵⁷/₃١٢٥ es ·24224 en su forma más simple. De ahí que parezca que el exceso del año sobre los 365 días asciende a aproximadamente 1 día en 4 años, lo cual no falla por tanto como 1 día en 1١٦ años; más exactamente, a 7 días en 29 años, lo cual no falla por tanto como 1 día en 95٧ años; más exactamente aún, a 8 días en 33 años, lo cual no falla por tanto como 1 día en 5٣١٣ años; y así sucesivamente.