excepto el 2 y el 5. Pues si
| a | = | c | , |
|---|---|---|---|
| b | 10ⁿ |
la última de las cuales es la forma general de una fracción decimal, sea
| a | esté en su mínima expresión; entonces | 10ⁿ a | , |
|---|---|---|---|
| b | b |
es un entero, de donde (Prop. 2) b debe dividir a 10ⁿ, y también deben hacerlo todos los divisores de b.
Si, entonces, entre los divisores de b hubiera algún número primo aparte de 2 y 5, tendríamos un número primo (que es por supuesto un número primo respecto a 10) que no divide a 10, pero que divide a una de sus potencias, lo cual es absurdo.
Prop. 4. Si b es primo con a, todos los múltiplos de b, como b, 2b, ... hasta (a-1)b deben dejar distintos restos al dividirlos por a. Pues si, siendo m mayor que n, y ambos menores que a, tenemos que mb y nb dan el mismo resto, se sigue que mb-nb, o (m-n)b, es divisible por a; de donde (Prop. 2), a divide a m-n, un número menor que él mismo, lo cual es absurdo.
Si un número se divide en sus factores primos, o se reduce a un producto exclusivamente de números primos (como en 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5), y si a , b , c , etc., son los factores primos, y α, β, γ, etc., el número de veces que entran respectivamente, de modo que el número sea a α × b ᵝ × c ᵞ × etc., entonces esto puede hacerse de una sola manera: Pues cualquier número primo v , no incluido en la lista anterior, es primo respecto a a , y por tanto respecto a a α , respecto a b y por tanto respecto a b ᵝ y por tanto respecto a a α × b ᵝ Procediendo de este modo, probamos que v es primo respecto