Hay algunas cuestiones relacionadas con las combinaciones que sitúo en un apéndice, porque tengo la intención de demostrarlas de manera más breve que los asuntos del texto.
Supongamos una serie de cajas, digamos 4, en cada una de las cuales hay fichas, digamos 5, 7, 3 y 11 respectivamente. ¿De cuántas maneras se puede sacar una ficha de cada caja, sin tener en cuenta el orden en que se acude a las cajas?
Respuesta, de 5 × 7 × 3 × 11 maneras.
Pues de la primera caja podemos extraer una ficha de 5 maneras distintas, y a cada extracción de este tipo podemos añadir una extracción de la segunda de 7 maneras distintas, lo que da 5 × 7 maneras de realizar una extracción de las dos primeras. A cada una de estas podemos añadir una extracción de la tercera caja de 3 maneras, lo que da 5 × 7 × 3 extracciones de las tres primeras; y así sucesivamente. Las siguientes afirmaciones pueden demostrarse ahora fácilmente, y pueden formularse otras similares para otros casos.
Si el orden de ir a las cajas importa, y si a, b, c, d son los números de fichas en las respectivas cajas, hay 4 × 2 × 3 × 1 × a × b × c × d maneras distintas.
Si queremos extraer, digamos, 2 de la primera caja, 3 de la segunda, 1 de la tercera y 3 de la cuarta, y si el orden de las cajas no se toma en cuenta, el número de maneras es
| a | a -1 | × | b - 1 | b - 2 | × c × d | d - 1 | d - 2 | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 2 | 3 | 2 | 3 |
Si se considera el orden de ir a las cajas, debemos multiplicar lo precedente por 4 × 3 × 2 × 1.
Si el orden de las extracciones de las cajas importa, pero no el orden de las cajas, entonces el número de maneras es a(a-1)b(b-1)(b-2)cd(d-1)(d-2)
La enésima potencia de a, o aⁿ, representa el número de maneras en que a fichas marcada de forma distinta pueden distribuirse en n cajas, sin considerar el orden de colocación en cada caja.
Supongamos que queremos distribuir 4 fichas marcadas de forma distinta entre 7 cajas. La primera ficha puede ir a cualquiera de las cajas, lo que da 7 maneras; la segunda ficha puede ir a cualquiera; y cualquiera de las primeras 7 asignaciones puede combinarse con cualquiera de las segundas 7, dando 7 × 7 maneras distintas; la tercera ficha varía cada una de estas de 7 maneras diferentes, dando 7 × 7 × 7 en total; y así sucesivamente.
Pero si las fichas son indistinguibles, el problema es muy diferente.
Se requiere el número de maneras en que un número puede componerse a partir de otros números, contando los diferentes órdenes como maneras distintas. Así, 1 + 3 + 1 y 1 + 1 + 3 deben considerarse como formas distintas de formar 5. Será obvio, con un poco de examen, que cada número puede componerse exactamente en el doble de maneras que el número precedente. Tomemos el 8 por ejemplo. Si se escribe cada forma posible