n mediante números que, al ser divididos por 3, dejan un resto de 1; y que el enésimo número en la segunda es el número de formas en que se puede componer n mediante números que, al ser divididos por 3, dejan un resto de 2.
Es muy fácil demostrar de cuántas maneras se puede componer un número mediante una cantidad dada de números, si los diferentes órdenes cuentan como maneras distintas.
Supongamos, por ejemplo, que queremos saber de cuántas maneras se puede componer así el 12 a partir de 7 números.
Si escribimos 12 unidades, hay 11 intervalos entre unidad y unidad. No hay ninguna manera de componer el 12 a partir de 7 números que no corresponda a distribuir 6 marcas de partición en los intervalos, 1 en cada uno de 6, y agrupar todas las unidades que no estén separadas por marcas de partición.
Así, 1 + 1 + 3 + 2 + 1 + 2 + 2, que es una de las maneras de componer el 12 a partir de 7 números, corresponde a
| 1 | 1 | 111 | 11 | 1 | 11 | 11 |
en el que las marcas de partición se encuentran en el 1.°, 2.°, 5.°, 7.°, 8.° y 10.° de los 11 intervalos. En consecuencia, preguntar de cuántas maneras se puede formar 12 con 7 números, es preguntar de cuántas maneras se pueden colocar 6 marcas de partición en 11 intervalos; o bien, cuántas combinaciones o selecciones se pueden hacer de 6 elementos entre 11. La respuesta es,
| 11 × 10 × 9 × 8 × 7 × 6 | , o 462. |
|---|---|
| 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 |
Denotemos por mₙ al número de maneras en que se pueden sacar m cosas de n cosas, de modo que mₙ sea la abreviatura de
| n × | n - 1 | × | n - 2 | ... hasta donde | n - m + 1 |
|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 3 | m |