de formar 7, el 8 puede formarse ya sea aumentando el último componente en una unidad, o añadiendo una unidad al final. Así, 1 + 3 + 2 + 1 puede dar 1 + 3 + 2 + 2, o 1 + 3 + 2 + 1 + 1: y de este modo se obtendrán todas las formas de formar 8; pues cualquier forma de formar 8, digamos a + b + c + d, debe proceder de la siguiente manera de formar 7, a + b + c + (d - 1). Ahora bien, (d - 1) es 0 —es decir, d es la unidad y se tacha— o (d - 1) permanece, siendo un número 1 menor que d. De aquí se sigue que el número de maneras de formar n es 2ⁿ⁻¹. Pues es obvio que hay 1 manera de formar 1, 2 de formar 2; luego debe haber, según nuestra regla, 2² maneras de formar 3, 2³ maneras de formar 4; y así sucesivamente.
Esta tabla muestra las formas de componer el 1, el 2, el 3 y el 4. De aquí se deduce (lo que dejo al lector para que lo investigue) que hay el doble de formas de formar a + b que de formar a y añadirle después una formación de b; cuatro veces más formas de formar a + b + c que de añadir a una formación de a formaciones de b y de c; y así sucesivamente.
Asimismo, al sumar los números que componen a + b, hay formas en las que a es un resto, y formas en las que no lo es, y tantas de unas como de otras.
Se requiere el número de maneras en que un número puede componerse de números impares, contando los diferentes órdenes como maneras distintas. Si a es el número de maneras en que n puede formarse así, y b el número de maneras en que n + 1 puede formarse, entonces a + b debe ser el número de maneras en que n + 2 puede formarse; pues cada manera de componer 12 a partir de números impares es o bien una manera de componer 10 con el último número aumentado en 2, o bien una manera de componer 11 con un 1 añadido.