Pero en la serie, cada término es solo la mitad del precedente; por consiguiente, ningún número de términos, por grande que sea, puede hacerse tan grande como 2 añadiendo uno más. La suma, por tanto, de 1, ½, ¼, ⅛, etc., se aproxima continuamente a 2, disminuyendo su distancia a 2 en cada paso, pero sin llegar a alcanzarlo. De ahí que 2 se llame el límite de 1 + ½ + ¼ + etc.
No debemos concluir, por lo tanto, que toda serie de términos decrecientes tiene un límite. Lo contrario puede demostrarse en la serie muy simple de 1 + ½ + ⅓ + ¼ + etc., que puede escribirse así:
1 + ½ + (⅓ + ¼) + (⅕ + ... hasta ⅛) + (⅑ + ... hasta ¹/₁₆)
- (¹/₁₇ + ... hasta ¹/₃₂) + &c.
Hemos dividido así todas las series, excepto los dos primeros términos, en lotes, cada uno de los cuales contiene la mitad de términos que unidades hay en el denominador de su último término. Así, el cuarto lote contiene 16 o ³²/₂2 términos. Puede demostrarse que cada uno de estos lotes es mayor que ½. Tomemos el tercer lote, por ejemplo, que consta de ⅑, ¹/₁₀, ¹/₁₁, ¹/₁₂, ¹/₁₃, ¹/₁₄, ¹/₁₅ y ¹/₁₆. Todos ellos, excepto ¹/₁₆, que es el último, son mayores que ¹/₁₆; en consecuencia, al sustituir cada uno de ellos por ¹/₁₆, el valor del lote entero se reduciría; y como entonces pasaría a ser ⁸/₁₆, o ½, el lote en sí es mayor que ½. Ahora bien, si a 1 + ½ se le suma continuamente ½, el resultado terminará por superar cualquier número dado. Con más razón ocurrirá esto si, en lugar de ½, se suman uno tras otro los distintos lotes escritos anteriormente. Pero de este modo se compone la serie 1 + ½ + ⅓, etc., lo cual demuestra lo que se afirmó, a saber, que esta serie no tiene límite.
- La serie 1 + r + rr + rrr + &c. siempre tiene un límite cuando r es menor que 1. Para demostrar esto, sea a el término que sigue a aquel en el que nos detenemos, de donde (194) la suma es
| 1 - a | , o (112) | 1 | - | a | . |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 - r | 1 - r | 1 - r |
Los términos decrecen sin límite (196), de donde podemos tomar un término tan distante del principio que a, y por consiguiente
| 1 - a | , |
|---|---|
| 1 - r |
será tan pequeño como queramos. Pero es evidente que en este caso
| 1 | - | a |
|---|---|---|
| 1 - r | 1 - r |
aunque siempre menos de
| 1 |
|---|
| 1 - r |
puede acercarse tanto a
| 1 |
|---|
| 1 - r |
como nos plazca; esto es, la serie 1 + r + rr + etc. se aproxima continuamente al límite