veces la longitud de la vara. Pero si la calle resulta tener 137 pies de largo, no podrá medirla con la vara; pues cuando haya medido 34 veces la vara, encontrará un residuo cuya longitud no podrá determinar sin una medida más corta. De ahí que se diga que el 4 mide el 136, pero que no mide el 137. Una medida, por tanto, es un divisor que no deja residuo.
- When one number is a measure of two others, it is called a common measure of the two. Thus, 15 is a common measure of 180 and 75. Two numbers may have several common measures. For example, 360 and 168 have the common measures 2, 3, 4, 6, 24, and several others.
Now, this question maybe asked: Of all the common measures of 360 and 168, which is the greatest? The answer to this question is derived from a rule of arithmetic, called the rule for finding the greatest common measure, which we proceed to consider.
- Si una cantidad mide a otras dos, mide su suma y su diferencia. Así, el 7 mide al 21 y al 56. Por tanto, mide al 56 + 21 y al 56-21, es decir, al 77 y al 35. Esto no es sino otra manera de expresar lo que se dijo en (74).
- Si un número mide a un segundo, mide a todo número que el segundo mida. Así, el 5 mide al 15, y el 15 mide al 30, 45, 60, 75, etc.; todos los cuales números son medidos por el 5. Es evidente que si
| 15 contiene 5 | 3 veces, | |
|---|---|---|
| 30, o 15 + 15 contiene 5 | 3 + 3 veces, | o 6 veces, |
| 45, o 15 + 15 + 15 contiene 5 | 3 + 3 + 3 | o 9 veces; |
y así sucesivamente.
- Todo número que mide tanto al dividendo como al divisor mide también al residuo. Para demostrar esto, dividamos 360 entre 112. El cociente es 3, y el residuo 24, es decir (72) 360 es tres veces 112 y 24, o 360 = 112 × 3 + 24. De esto se deduce que 24 es la diferencia entre 360 y 3 veces 112, o 24 = 360 - 112 × 3. Tómese cualquier número que mida tanto a 360 como a 112; por ejemplo, 4. Entonces
- 4 compases 360,
- 4 measures 112, and therefore (94) measures 112 × 3,
- o 112 + 112 + 112.
Por tanto (93) mide , que es el resto 24.
El mismo razonamiento puede aplicarse a todas las demás medidas de 360 y 112; y el resultado es que toda cantidad que mide tanto al dividendo como al divisor también mide al resto. De ahí que toda medida común de un dividendo y un divisor sea también una medida común del divisor y del resto.
- Todo divisor común del divisor y del resto es también un divisor común del dividendo y del divisor. Tomemos el mismo ejemplo, y recordemos que 360 = 112 × 3 + 24. Tomemos cualquier divisor común del resto 24 y del divisor 112; por ejemplo, 8. Entonces
- 8 compases 24;
- y 8 compases 112, y por lo tanto (94) compases 112 × 3.
Por lo tanto (93) 8 mide 112 × 3 + 24, o mide el dividendo 360.