- rrr + rrr - rrrr
= 1 - r + r(1 - r) + rr(1 - r) + rrr(1 - r);
de donde, por un razonamiento similar, 1 + r + rr + rrr se halla dividiendo 1-rrrr por 1-r; y se pueden hallar ecuaciones similares a estas que acaban de darse, que son,
| 1 + r | = | 1 - rr |
|---|---|---|
| 1 - r | ||
| 1 + r + rr | = | 1 - rrr |
| 1 - r | ||
| 1 + r + rr + rrr | = | 1 - rrrr |
| 1 - r | ||
| 1 + r + rr + rrr + rrrr | = | 1 - rrrrr |
| 1 - r |
La regla es: Para hallar la suma de n términos de la serie, 1 + r + rr + &c., divídase la diferencia entre 1 y el (n + 1)ᵗʰ término por la diferencia entre 1 y r.
- Esto puede aplicarse para hallar la suma de cualquier número de términos de una proporción continua. Sean a, b, c, etc. los términos de los cuales se requiere sumar cuatro, es decir, hallar a + b + c + d, o (192) a + ar + arr + arrr, o (54) a(1 + r + rr + rrr), lo cual (193) es
| rrrr - 1 | × a , or | 1 - rrrr | × a , |
|---|---|---|---|
| r - 1 | 1 - r |