de ²⁵/₆₄ es ⅝, puesto que 5 × 5 es 25, y 8 × 8 es 64. Si el numerador o el denominador, o ambos, no son números cuadrados, no se sigue necesariamente que la fracción no tenga raíz cuadrada; pues puede suceder que la multiplicación o la división por un mismo número convierta tanto el numerador como el denominador en números cuadrados (108). Así, ²⁷/₄₈, que a primera vista parece no tener raíz cuadrada, la tiene en realidad, ya que es igual a ⁹/₁₆, cuya raíz cuadrada es
- Pasamos ahora desde (165), donde se afirmó que, dado cualquier número o fracción, se puede hallar un segundo cuyo cuadrado sea tan próximo al primero como queramos. Así, aunque no podamos resolver el problema «Hallar una fracción cuyo cuadrado sea 2», podemos resolver el siguiente: «Hallar una fracción cuyo cuadrado no difiera de 2 en tanto como 0,00000001». En lugar de esta última, se puede sustituir una fracción aún menor; de hecho, cualquier otra, por pequeña que sea: y en este proceso se dice que nos aproximamos a la raíz cuadrada de 2.
Esto puede hacerse en cualquier medida, de la siguiente manera: Supongamos que deseamos hallar la raíz cuadrada de 2 con un margen menor que ¹/₅₇ de la verdad; con lo cual quiero decir, hallar una fracción a/b cuyo cuadrado sea menor que 2, pero tal que el cuadrado de a/b + ¹/₅₇ sea mayor que 2. Multipliquemos el numerador y el denominador de ²/₁ por el cuadrado de 57, es decir, 3249, lo que da ⁶⁴⁹⁸/₃₂₄₉. Al intentar extraer la raíz cuadrada del numerador, encuentro (163) que hay un resto de 98, y que el número cuadrado inmediatamente inferior a 6498 es 6400, cuya raíz es 80. De ahí que el cuadrado de 80 sea menor que 6498, mientras que el de 81 es mayor. La raíz cuadrada del denominador es, por supuesto, 57. Por tanto, el cuadrado de ⁸⁰/⁵⁷ es menor que ⁶⁴⁹⁸/₃₂₄₉, o 2, mientras que el de ⁸¹/⁵₇ es mayor, y estas dos fracciones solo difieren en ¹/₅₇; que era lo que se pedía hacer.
- En la práctica, es habitual hallar la raíz cuadrada exacta hasta un cierto número de cifras decimales. Así, 1,4142 es la raíz cuadrada de 2 exacta hasta cuatro cifras decimales, ya que el cuadrado de 1,4142, o 1,99996164, es menor que 2, mientras que un aumento de solo 1 en la cuarta cifra decimal, que da 1,4143, da el cuadrado 2,00024449, que es mayor que 2. Para tomar un caso más general: Supóngase que se requiere hallar la raíz cuadrada de 1,637 exacta hasta cuatro cifras decimales. La fracción es ¹⁶³⁷/₁₀₀₀, cuya raíz cuadrada ha de hallarse dentro de 0,0001, o ¹/₁₀₀₀₀. Añádanse ceros al numerador y al denominador hasta que el denominador se convierta en el cuadrado de ¹/₁₀₀₀₀, lo que da ¹⁶³⁷⁰⁰⁰⁰⁰/₁₀₀₀₀₀₀₀₀, extráigase la raíz cuadrada del numerador, como en (163), lo que muestra que el número cuadrado más próximo a él es 163700000-13564, cuya raíz es
- Por tanto, ¹²⁷⁹⁴/₁₀₀₀₀, o 1,2794, da un cuadrado menor que 1,637, mientras que 1,2795 da un cuadrado mayor. De hecho, estos dos cuadrados son 1,63686436 y 1,63712025.
- La regla, por tanto, para extraer la raíz cuadrada de un número o decimal a cualquier número de cifras es: * Añadir ceros hasta que haya el doble de cifras después de la posición de las unidades que las que ha de haber como cifras decimales en la raíz; extraer la raíz cuadrada más cercana de este número y separar con una coma el número dado de decimales. * O, más sencillamente: Dividir el número en periodos, de modo que la cifra de las unidades sea la última de un periodo; proceder de la manera habitual y, si al haber decimales después de la posición de las unidades queda una cifra a la derecha en un periodo por sí sola, añadir un cero al bajar dicho periodo y, a continuación, hacer que cada nuevo periodo conste de dos ceros.