o aα-1bβ-1cγ-1 ...
(a - 1)(b - 1)(c - 1)....
Por consiguiente, siendo 360 igual a 2³3²5, su número de divisores es 4 × 3 × 2, es decir, 24, y hay 2³3.1.2.4 o 96 números menores que 360 que son primos con él.
Prop. 5. Si a es primo con b, entonces los términos de la serie, a, a², a³, ... divididos separadamente por b, deben dejar todos distintos restos, hasta que 1 aparezca como resto, después de lo cual el ciclo de restos se repetirá de nuevo.
Sea a + b con resto r (que no sea la unidad); entonces a² ÷ b da el mismo resto que ra + b, el cual (Prop. 4) no puede ser r: sea s.
Entonces aˢ ÷ b da el mismo resto que sa ÷ b, el cual (Prop. 4) no puede ser ni r ni s, a menos que s sea 1: sea t. Entonces aᵗ ÷ b da el mismo resto que ta ÷ b; si t no es 1, este no puede ser ni r, ni s, ni t: sea u. Así seguimos obteniendo diferentes restos, hasta que el 1 aparece como resto; después de lo cual, en el paso siguiente, se repite el resto de a ÷ b. Ahora bien, el 1 debe llegar por fin; pues la división por b no puede dar otros restos que 0, 1, 2, ... b- 1; y el 0 nunca llega (Prop. 3), de modo que tan pronto como hayan aparecido b-2 restos diferentes, ninguno de los cuales es la unidad, el siguiente, que debe ser diferente de todos los precedentes, tiene que ser 1. Si no antes, entonces en aᵇ⁻¹ debemos obtener un resto 1; después de lo cual el ciclo obviamente se repetirá.
Por lo tanto, al dividir 7, 7², 7³, 7⁴, etc., entre 5, se verá que dan los restos 2, 4, 3, 1, etc.
Prop. 6. La diferencia de dos potencias m-ésimas es siempre divisible sin resto por la diferencia de las raíces; o aᵐ -bᵐ es divisible por a-b; pues aᵐ - bᵐ = aᵐ - aᵐ⁻¹b + aᵐ⁻¹b - bᵐ
= aᵐ⁻¹(a - b) + b(aᵐ⁻¹ - bᵐ⁻¹)
De donde, si aᵐ⁻¹ - bᵐ⁻¹ es divisible por a - b, también lo es aᵐ - bᵐ. Pero a - b es divisible por a - b; por tanto, también lo es a² - b²; por tanto, también lo es a³ - b³; y así sucesivamente.
Por tanto, si a y b, divididos por c, dejan el mismo residuo, a² y b², a³ y b³, &c. divididos respectivamente por c, dejan los mismos residuos; pues esto significa que a - b es divisible por c.
Pero aᵐ - bᵐ es divisible por a - b, y por tanto por cada divisor de a-b, o por c; pero aᵐ - bᵐ no puede ser divisible por c, a menos que aᵐ y bᵐ, divididos respectivamente por c, den el mismo residuo.
Prop. 7. Si b es un número primo, y a no es divisible por b, entonces aᵇ y (a-1)ᵇ + 1 dejan el mismo resto al dividirlos por b. Esta proposición no puede demostrarse aquí, ya que requiere un poco más de álgebra de la que el lector de esta obra posee.4
Prop. 8. En el último caso, a ᵇ⁻¹ dividido por b deja un residuo 1. Del último, a ᵇ- a deja el mismo residuo que ( a -1)ᵇ + 1- a o ( a -1)ᵇ- ( a -1); es decir, el residuo de a ᵇ - a no se altera si a se reduce en una unidad. Por la misma