- Si se coloca sobre la mesa cierto número de fichas, distinguidas por diferentes letras, y se retira un número cualquiera de ellas, por ejemplo, cuatro, el problema consiste en determinar de cuántas maneras diferentes puede hacerse esto. Cada modo de hacerlo da lugar a lo que se llama una combinación de cuatro, aunque con mayor propiedad podría llamarse una selección de cuatro. Se dice que dos combinaciones o selecciones son diferentes cuando difieren de cualquier modo posible; así, abcd y abce son diferentes, ya que d está en una y e en la otra, siendo iguales las partes restantes. Supongamos que hay seis fichas, a, b, c, d, e y f; las combinaciones de tres que pueden formarse con ellas son veinte en total, a saber:
| abc | asesino | bcd | bef |
|---|---|---|---|
| abd | acf | bce | cde |
| abe | ade | bcf | cdf |
| abf | adf | bde | cef |
| acd | aef | bdf | def |
Las combinaciones de cuatro son quince en número, a saber,
| abcd | abde | acde | adef | bcef |
|---|---|---|---|---|
| abce | abdf | acdf | bcde | bdcf |
| abcf | abef | acef | bcdf | cdef |
y así sucesivamente.
- Cada una de estas combinaciones puede escribirse en varios órdenes diferentes; así, abcd puede disponerse de cualquiera de las siguientes maneras:
| abcd | acbd | acdb | abdc | adbc | adcb |
|---|---|---|---|---|---|
| bacd | cabd | cadb | badc | dabc | dacb |
| bcad | cbad | cdab | bdac | dbac | dcab |
| bcda | cbda | cdba | bdca | dbca | dcba |
de los cuales no hay dos que estén enteramente en el mismo orden. Se dice que cada uno de estos es una permutación distinta de abcd. Considerados como una combinación, son todos iguales, ya que cada uno contiene a, b, c y d.
Pasamos ahora a hallar cuántas permutaciones , cada una de las cuales contiene un número dado, pueden hacerse con las fichas de otro número dado, seis, por ejemplo. Si supiéramos cómo hallar todas las permutaciones que contienen cuatro fichas, podríamos formar aquellas que contienen cinco de este modo: tómese cualquiera que contenga cuatro, por ejemplo, abcf , en el cual se han omitido d y e ; escríbanse d y e sucesivamente al final, lo que da abcfd , abcfe , y repítase el mismo proceso con cada una