de las demás permutaciones de cuatro; así, dabc da dabce y dabcf . Ninguna permutación de cinco puede escapársenos si procedemos de esta manera, con la única condición de que conozcamos las de cuatro; pues cualquier permutación dada de cinco, como dbfea , surgirá en el curso del proceso a partir de dbfe , que, según nuestra regla, proporciona dbfea . Tampoco se repetirá ninguna permutación dos veces, pues dbfea , si se sigue la regla, solo puede surgir de la permutación dbfe . Si comenzamos de este modo a hallar las permutaciones de dos de las seis, a b c d e f , cada una de estas da cinco; así, a da ab ac ad ae af b ... ba bc bd be bf y el número total es 6 × 5, o 30.
Nuevamente, ab da abc abd abe abf ac ... acb acd ace acf y aquí hay 30, o 6 × 5 permutaciones de 2, cada una de las cuales da 4 permutaciones de 3; el número total de estas últimas es, por lo tanto, 6 × 5 × 4, o 120.
Nuevamente, abc da abcd abce abcf abd ... abdc abde abdf y aquí hay 120, o 6 × 5 × 4, permutaciones de tres, cada una de las cuales da 3 permutaciones de cuatro; el número total de las últimas es por lo tanto 6 × 5 × 4 × 3, o 360.
Del mismo modo, el número de permutaciones de 5 es 6 × 5 × 4 × 3 × 2, y el número de permutaciones de seis, o el número de diferentes maneras en que los seis en conjunto pueden ordenarse, es 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1. Los dos últimos resultados son iguales, lo cual debe ser así; pues dado que una permutación de cinco solo omite uno, solo puede proporcionar una permutación de seis. Si en lugar de seis elegimos cualquier otro número, x, el número de permutaciones de dos será x(x-1), el de tres será x(x-1)(x-2), el de cuatro x(x -1)(x-2)(x-3), siendo la regla: Multiplicar el número total de fichas por el número inmediatamente inferior, y el resultado por el siguiente inferior, y así sucesivamente, hasta que se hayan multiplicado tantos números como fichas ha de haber en cada permutación: el producto será el número total de permutaciones del tipo requerido. Así, a partir de 12 fichas, se pueden hacer permutaciones de cuatro en número de 12 × 11 × 10 × 9, es decir, 11880.
EJERCICIOS.
- ¿De cuántas maneras diferentes se pueden acomodar ocho personas en ocho asientos?
Respuesta, 40320.
¿De cuántas maneras se puede sentar a ocho personas alrededor de una mesa redonda, de modo que no todas tengan los mismos vecinos en cualesquiera dos ordenamientos?
Respuesta, 5040.
Si se diera la centésima parte de un farthing por cada disposición diferente que se puede hacer de quince personas, ¿a cuánto ascendería la cantidad total?
Respuesta, 13621608 £.
De diecisiete consonantes y cinco vocales, ¿cuántas palabras se pueden formar que tengan dos consonantes y una vocal cada una?
Respuesta, 4080.