En estas y en todas las demás debe observarse que, cuando aparecen expresiones como a - b y c - d, se supone que a es mayor que b, y c mayor que d.
- Si cuatro números son proporcionales, y cualesquiera dos términos disímiles se multiplican ambos, o se dividen ambos por la misma cantidad, los resultados son proporcionales. Así, si a: b ∷ c: d, y m y n son dos números cualesquiera, tenemos también lo siguiente:
| ma | : | b | ∷ | mc | : | d |
|---|---|---|---|---|---|---|
| a | : | mb | ∷ | c | : | md |
| a | : | mb | ∷ | c | : | md |
| n | n | |||||
| ma | : | nb | ∷ | mc | : | nd |
| a | : | b | ∷ | c | : | d |
| m | m | m | m | |||
| a | : | b | ∷ | c | : | d |
| m | m | n | n |
y varios otros. Para demostrar cualquiera de ellos, recuérdese que no se necesita nada más para hacer que cuatro números sean proporcionales, excepto que el producto de los extremos sea igual al de los medios. Tomemos el tercero de los recién dados; el producto de