Establecemos previamente, lo cual es bastante evidente, que de dos números, el mayor tiene el mayor cuadrado; y que si un número se encuentra entre otros dos, su cuadrado se encuentra entre los cuadrados de esos otros.
- Sea x un número que consta de cualquier número de partes, por ejemplo, cuatro, a saber, a, b, c y d; es decir, sea x = a + b + c + d
El cuadrado de este número, hallado como en (68), será
- aa + 2a(b + c + d)
- bb + 2b(c + d)
- cc + 2cd
- dd
La regla allí hallada para elevar al cuadrado un número compuesto de partes era:
Eleve al cuadrado cada parte, y multiplique todas las que le siguen por el doble de dicha parte; la suma de todos los resultados así obtenidos será el cuadrado del número entero.
En la expresión obtenida anteriormente, en lugar de multiplicar 2a por cada una de las partes sucesivas, b, c y d, y sumar los resultados, multiplicamos 2a por la suma de todas las partes sucesivas, lo cual (52) es lo mismo; y como las partes, por dispuestas que estén, componen el número, podemos invertir su orden, poniendo la última primera, etc.; y la regla para elevar al cuadrado será:
- Eleve al cuadrado cada parte, y multiplique todas las que le preceden por el doble de dicha parte.
De ahí que se presente una regla inversa para extraer la raíz cuadrada con más simplicidad de la habitual. Es la siguiente:
Para extraer la raíz cuadrada de un número N, elija un número A, y vea si N tolera la sustracción del cuadrado de A; si es así, tome el residuo, elija un segundo número B, y vea si el residuo tolera la sustracción del cuadrado de B, y el doble de B multiplicado por la parte precedente A: si lo hace, hay un segundo residuo.
Elija un tercer número C, y vea si el segundo residuo tolera la sustracción del cuadrado de C, y el doble de C multiplicado por A + B: continúe de esta manera ya sea hasta que no quede residuo, o bien hasta que el residuo no tolere la sustracción proveniente de ninguna nueva parte, aun cuando dicha parte fuera el número menor, que es 1.
- En el primer caso, la raíz cuadrada es la suma de A, B, C, etc.;
- en el segundo, no hay raíz cuadrada.
- Por ejemplo, deseo saber si 2025 tiene una raíz cuadrada. Elijo 20 como la primera parte, y hallo que 400, el cuadrado de 20, restado de 2025, da 1625, el primer residuo. Elijo de nuevo 20, cuyo cuadrado, junto con el doble de sí mismo, multiplicado por la parte precedente, es
20 × 20 + 2 × 20 × 20, o 1200; que restado de 1625, el primer resto, da 425, el segundo resto. Elijo 7 para la tercera parte, que parece ser demasiado grande, ya que 7 × 7, incrementado por 2 × 7 multiplicado por la suma de las partes precedentes 20 + 20, da 609, que es mayor que 425.