El proceso de la prueba del nueve, como se le llama, es algo que el joven calculista debe aprender y practicar como comprobación de sus cálculos. No es una comprobación completa, ya que si una cifra se hiciera demasiado pequeña y otra igualmente demasiado grande, no detectaría este doble error; pero como es muy poco probable que ocurra tal doble error, la comprobación ofrece una fuerte presunción de exactitud.
La proposición de la cual depende este método es la siguiente: Si a, b, c, d son cuatro números tales que a = bc + d, y si m es cualquier otro número en absoluto, y si a, b, c, d, divididos respectivamente por m, dan los residuos p, q, r, s, entonces p y qr + s dan el mismo residuo al ser divididos por m (y tal vez sean iguales entre sí).
Por ejemplo, 334 = 17 × 19 + 11;
divide estos cuatro números entre 7, los residuos son 5, 3, 5 y 4. Y 5 y 5 × 3 + 4, o 5 y 19, ambos dejan el residuo 5 al dividirlos entre 7.
Cualquier número, por lo tanto, que se emplee como divisor, puede utilizarse para comprobar la corrección de una operación. Para proporcionar una comprobación que sea de lo más apta para su uso, debemos tomar un divisor cuyo resto sea el más fácil de hallar. Los divisores más convenientes son el 3, el 9 y el 11, de los cuales el 9 es, con mucho, el más útil.
En cuanto a los números 3 y 9, el residuo es siempre el mismo que el de la suma de las cifras. Por ejemplo, supóngase que se requiere el residuo de 246120377 dividido entre 9. La suma de las cifras es 2 + 4 + 6 + 1 + 2 + 0 + 3 + 7 + 7, o sea 32, lo que da el residuo 5. Pero la manera más fácil de proceder es descartando los nueves a medida que van surgiendo en la suma. Así pues, repítase 2, 6 (2 + 4), 12 (6 + 6), digamos 3 (descartando el 9), 4, 6, 9 (descartar este), 7, 14, (o descartando el 9) 5. Este es el residuo requerido, como se vería al dividir 246120377 entre 9. Una demostración
puede darse de este modo: Es obvio que cada uno de los números, 1, 10, 100, 1000, etc., divididos entre 9, dejan un residuo de 1, puesto que son 1, 9 + 1, 99 + 1, etc. En consecuencia, 2, 20, 200, etc., dejan el residuo 2; 3, 30, 300, el residuo 3; y así sucesivamente. Si, entonces, dividimos, digamos 1764 entre 9 por partes, 1000 será uno más que un número exacto de nueves, 700 será siete más, y 60 será seis más. Por lo tanto, a partir de 1, 7, 6, 4, sumados, y quitados los nueves, resulta el único residuo que puede resultar de 1764.
Para aplicar este proceso a una multiplicación: Se afirma, en la página 32, que
10004569 × 3163 = 31644451747.
Al excluir los nueve del primero, todo lo que es necesario repetir es: uno, cinco, diez, uno, siete; en el segundo: tres, cuatro, diez, uno, cuatro; en el tercero: tres, cuatro, diez, uno, cinco, nueve, cuatro, nueve, ocho, doce, tres, diez, uno. Los residuos entonces son: 7, 4, 1. Ahora bien, 7 × 4 es 28, lo cual, al excluir los nueve, da 1, lo mismo que el producto.