regla, puede reducirse otra unidad, y así sucesivamente, aún sin ninguna alteración del residuo. Al fin se convierte en 1ᵇ-1, o 0, cuyo residuo es 0. En consecuencia, a ᵇ - a , que es a ( a ᵇ⁻¹- 1), es divisible por b ; y puesto que b es primo respecto a a , debe ( Prop. 2 ) dividir a ᵇ⁻¹-1; es decir, a ᵇ⁻¹, dividido por b , deja un residuo 1, si b es un número primo y a no es divisible por b .
De lo anterior resulta (Prop. 5 y 7) que, si a es primo con b, el conjunto 1, a, a², a³, etc., dividido sucesivamente por b, da un conjunto de restos que comienza con 1 y en el cual el 1 vuelve a aparecer en aᵇ⁻¹, si no antes, y en aᵇ⁻¹ con certeza (ya sea antes o no), si b es un número primo.
A partir del punto en que aparece el 1, el ciclo de restos vuelve a comenzar, y el 1 es siempre el comienzo de un ciclo.
Si, por lo tanto, aᵐ es la primera potencia que da 1 como resto, m debe ser b-1, o un divisor de este, cuando b es un número primo.
Pero si dividimos los términos de la serie m, ma, ma², ma³, etc., por b, siendo m menor que b, tenemos ciclos de restos que empiezan con m.
Si 1, r, s, t, etc., es el primer conjunto de restos, entonces el segundo conjunto es el conjunto de restos que surgen de m, mr, ms, mt, etc.
Si 1 no aparece nunca en el primer conjunto antes de aᵇ⁻¹ (excepto al principio), entonces todos los números menores que b-1 inclusive se encuentran entre el conjunto 1, r, s, t, etc.; y si m es primo respecto a b (Prop. 4), todos los mismos números se encuentran, en un orden diferente, entre los restos de m, mr, etc.
Pero si ocurriese que el conjunto 1, r, s, t, etc., no es completo, entonces m, mr, ms, etc., pueden dar un conjunto diferente de restos.
Todos estos últimos teoremas se verifican constantemente en el proceso de reducción de una fracción a una fracción decimal. Si m es primo respecto a b, o la fracción m/b está en sus términos mínimos, el proceso implica la división sucesiva de m, m × 10, m × 10², etc., por b. Este proceso nunca puede llegar a su fin a menos que alguna potencia de 10, digamos 10ⁿ, sea divisible por b; lo cual no puede ser si b contiene algún factor primo excepto el 2 y el 5.
En cualquier otro caso, el cociente se repite, y la parte que se repite a veces comienza desde la primera cifra, a veces desde una cifra posterior. Así, ¹/₇ da ·142857142857, etc., pero ¹/₁₄ da ·07(142857)(142857), etc., y ¹/₂₈ da ·03(571428)(571428), etc.
En m/b, el cociente siempre se repite desde el mismo comienzo siempre que b sea un número primo y m sea menor que b; y el número de cifras en la parte periódica es entonces siempre b-1, o una submúltiplo de este. Que deba ser así se desprende de las proposiciones anteriores.
Antes de pasar adelante, escribimos la parte periódica de un cociente, con los residuos que quedan después de formar las diversas cifras. Sea la fracción ¹/₁₇, tenemos
0₁₀5₁₅8₁₄8₄2₆3₉5₅2₁₆9₇4₂1₃1₁₃7₁₁6₈4₁₂7₁
Esto puede leerse así: