Un teorema es un hecho matemático general: así, que todo número es divisible por cuatro cuando sus dos últimas cifras lo son, es un teorema; que en toda proporción el producto de los extremos es igual al producto de los medios, es otro.

Si se sustituye bx por a en cualquier expresión que sea homogénea con respecto a a y b, el alumno podrá ver fácilmente que b debe aparecer en cada término tantas veces como unidades haya en el grado de la expresión: así, aa + ab se convierte en bxbx + bxb o bb(xx + x); aaa + bbb se convierte en bxbxbx + bbb o bbb(xxx + 1); y así sucesivamente.

La diferencia entre este problema y el anterior se deja a la ingenuidad del alumno.

No es verdad que, si elegimos cualquier cantidad como unidad, cualquier otra cantidad de la misma especie pueda ser representada exactamente ya sea por un cierto número de unidades, o de partes de una unidad. Para comprender cómo se demuestra esto, el alumno requeriría más conocimientos de los que se le pueden suponer; pero podemos mostrarle que, por lo que sabe en contra, puede haber cantidades que no sean ni unidades ni partes de la unidad. Tomemos una línea matemática de un pie de longitud, dividámosla en diez partes, cada una de esas partes en diez partes, y así sucesivamente de forma continua. Si se toma al azar un punto A en la línea, no parece evidente por sí mismo que, por muy lejos que se continúe la división decimal, uno de los puntos de división deba al fin coincidir exactamente en A: tampoco parecería necesariamente verdad lo mismo si la división se hiciera en séptimos, o en onceavos, o de cualquier otra manera. Puede haber entonces posiblemente una parte de un pie que no sea ninguna fracción numérica exacta del pie en absoluto; y esto, en una rama superior de las matemáticas, se descubre que ocurre infinidad de veces.