Nam longitudines quæ sunt vel non sunt ut numerus ad numerum (quemadmodum in decimo Elementorum) sunt Arithmetice rationales vel irrationales. Aream igitur Ellipseos tempori proportionalem abscindo per Curvam Geometrice irrationalem ut sequitur.
Prop. XXXI. Prob. XXIII.
*Corporis in data Trajectoria Elliptica moventis invenire locum ad tempus assignatum.*
Sea APB una elipse, siendo A el vértice principal, S el foco, O el centro, y sea P la posición del cuerpo que debe hallarse.
Prolónguese OA hasta G de modo que OG Page 108 sea a OA como OA es a OS. Levántese la perpendicular GH, y con centro en O y radio OG descríbase un círculo EFG, y sobre la regla GH, como base, avance la rueda GEF girando alrededor de su eje, y describiendo entre tanto con su punto A una troyoide ALI.
Hecho esto, tómese GK en razón al perímetro de la rueda GEFG como el tiempo en que el cuerpo, al avanzar desde A, ha descrito el arco AP, es al tiempo de una revolución en la elipse. Levántese la perpendicular KL que corta a la troyoide en L, y trazada LP paralela a GK, esta cortará a la elipse en la posición buscada del cuerpo P.
Nam centro O intervallo OA describatur semicirculus AQB, & arcui AQ occurrat LP producta in Q, junganturq; SQ, OQ. Arcui EFG occurrat OQ in F, & in eandem OQ demittatur perpendiculum SR. Area APS est ut area AQS, id est, ut differentia inter sectorem OQA & triangulum OQS, sive ut differentia rectangulorum ½OQ × AQ & ½OQ × SR, hoc est, ob datam ½OQ, ut differentia inter arcum AQ & rectam SR, adeoq; (ob æqualitatem rationum SR ad sinum arcus AQ, OS ad OA, OA ad OG, AQ ad GF, & divisim AQ - SR ad GF - sin. arc. AQ) ut GK differentia inter arcum GF & sinum arcus AQ. Q. E. D. Page 109