Q. E. I.
Addatur jam corpus quartum V, & simili argumento concludetur hoc & punctum C Ellipses circa omnium commune centrum gravitatis B describere; manentibus motibus priorum corporum T, L & S circa centra D & C, sed paulo acceleratis. Et eadem methodo corpora plura adjungere licebit. Q. E. I.
Esto así se habje ubi corpora T & L trahunt se mutuo viribus acceleratricibus majoribus vel minoribus quam trahunt corpora reliqua pro ratione distantiarum. Sunto mutuæ omnium attractiones acceleratrices ad invicem ut distantiæ ductæ in corpora trahentia, & ex præcedentibus facile deducetur quod corpora omnia æqualibus temporibus periodicis Ellipses varias, circa omnium commune gravitatis centrum B, in plano immobili describunt. Q. E. I.
Prop. LXV. Theor. XXV.
*Corpora plura quorum vires decrescunt in duplicata ratione Page 171 distantiarum ab eorundem centris, moveri posse inter se in Ellipsibus, & radiis ad umbilicos ductis Areas describere temporibus proportionales quam proxime.*
En la proposición anterior se ha demostrado el caso en que múltiples movimientos se realizan exactamente en elipses. Cuanto más se aleja la ley de las fuerzas de la ley allí establecida, más perturbarán los cuerpos sus movimientos mutuos, y no es posible que los cuerpos que se atraen mutuamente según la ley aquí establecida se muevan exactamente en elipses, a menos que mantengan una cierta proporción en sus distancias mutuas. Sin embargo, en los casos siguientes no se diferirá mucho de las elipses.
Cas. 1. Supóngase que varios cuerpos menores se hacen girar alrededor de algún cuerpo mayor a varias distancias de él, y que hacia cada uno de ellos tienden fuerzas absolutas proporcionales a los mismos cuerpos. Y puesto que el centro de gravedad común de todos (por el Corolario cuarto de las Leyes) o bien estará en reposo o bien se moverá uniformemente en línea recta, imaginemos que los cuerpos menores son tan pequeños que el cuerpo mayor nunca dista sensiblemente de este centro; y ese mayor o bien estará en reposo o bien se moverá uniformemente en línea recta, sin error sensible; los menores, en cambio, girarán alrededor de este mayor en elipses, y describirán con radios trazados hacia el mismo áreas proporcionales a los tiempos, excepto en la medida en que se induzcan errores, ya sea por la desviación del mayor respecto de aquel centro de gravedad común, o por las acciones de los cuerpos menores entre sí. Pueden, no obstante, disminuirse los cuerpos menores hasta que ese error y las acciones mutuas sean menores que cualesquiera dados, y por tanto hasta que las órbitas coincidan con las elipses y las áreas respondan a los tiempos, sin un error que no sea menor que cualquier cantidad dada. Q. E. O.
Cas. 2. Fingamus jam Systema corporum minorum modo jam descripto circa maximum revolventium, aliudve quodvis duorum circum se mutuo revolventium corporum Systema progredi uniformiter in directum, & interea vi corporis alterius longe maximi & ad magnam distantiam siti urgeri ad latus.
Y como las fuerzas aceleratrices iguales, con las que los cuerpos son impulsados según líneas paralelas, no modifican las posiciones mutuas de los cuerpos, sino que hacen que —como en la página 172— el sistema entero se traslade simultáneamente, conservados los movimientos de las partes entre sí, es manifiesto que de las atracciones hacia el cuerpo máximo no nacerá en absoluto ninguna modificación en el movimiento mutuo de los atraídos, a no ser por la desigualdad de las fuerzas aceleratrices o por la inclinación recíproca de las líneas según las cuales se realizan las atracciones.