Cas. 1. Si los intervalos de los puntos H, I, K, L, M, N son iguales HI, IK, KL, etc., obtén las primeras diferencias b, 2b, 3b, 4b, 5b, etc., de los perpendiculares AH, BI, CK etc., las segundas c, Page 482 2c, 3c, 4c, etc., las terceras d, 2d, 3d, etc., esto es, de modo que sea HA - BI = b, BI- CK = 2b, CK - DL = 3b, DL + EM = 4b, - EM + FN = 5b, etc., luego b - 2b = c etc., y así prosígase hasta la diferencia última, que aquí es f. Después, levantada una perpendicular cualquiera RS, que haya sido aplicada ordenadamente a la curva buscada: para que se halle su longitud, pon que los intervalos HI, IK, KL, LM, etc., son unidades, y di AH = a, - HS = p, ½p en - IS = q, ⅓q en + SK = r, ¼r en + SL = s, 1/5s en + SM = t; prosiguiendo evidentemente hasta el penúltimo perpendicular ME, y anteponiendo los signos negativos a los términos HS, IS, etc., que yacen hacia las partes del punto S hacia A, y los signos positivos a los términos SK, SL, etc., que yacen en las otras partes del punto S. Y, observados debidamente los signos, será RS = a + bp + cq + dr + es + ft etc.
Cas. 2. Quod si punctorum H , I , K , L , &c. inæqualia sint intervalla HI , IK , &c. collige perpendiculorum AH , BI , CK , &c. differentias primas per intervalla perpendiculorum divisas b , 2 b , 3 b , 4 b , 5 b ; secundas per intervalla bina divisas c , 2 c , 3 c , 4 c , &c. tertias per intervalla terna divisas d , 2 d , 3 d , &c. quartas per intervalla quaterna divisas e , 2 e , &c. & sic deinceps; id est ita ut sit b = { AH - BI } ÷ HI , 2 b = { BI - CK } ÷ IK , 3 b = { CK - DL } ÷ KL &c. dein c = { b - 2 b } ÷ HK , 2 c = {2 b - 3 b } ÷ IL , 3 c = {3 b - 4 b } ÷ KM &c. Postea d = { c - 2 c } ÷ HL , 2 d = {2 c - 3 c } ÷ IM &c. Inventis differentiis, dic AH = a , - HS = p , p in - IS = q , q in + SK = r , r in + SL = s , s