Es también, por la semejanza de los trapecios bkAſ , PQAS , como bk es a bſ así PQ es a PS . Por lo cual, aplicando los términos de la proposición anterior a los términos correspondientes de esta, será b r es a bd como PR es a PT . Por tanto, los trapecios equiángulos D r bd , DRPT son semejantes, y sus diagonales Db , DP por ello coinciden. Cae, por tanto, b en la intersección de las líneas rectas AP , DP y por ello coincide con el punto P . Por lo cual el punto P , dondequiera que se tome, cae en la sección cónica asignada. Q. E. D.
Corol. Hinc si rectæ tres PQ, PR, PS a puncto communi P ad alias totidem positione datas rectas AB, CD, AC, singulæ ad singulas, in datis angulis ducantur, sitq; rectangulum sub duabus ductis PQ × PR ad quadratum tertii, PS quad. in data ratione: punctum Page 73 P, a quibus rectæ ducuntur, locabitur in sectione Conica quæ tangit lineas AB, CD in A & C & contra.
Nam coeat linea BD cum linea AC manente positione trium AB, CD, AC; dein coeat etiam linea PT cum linea PS: & rectangulum PS × PT evadet PS quad. rectæq; AB, CD quæ curvam in punctis A & B, C & D secabant, jam Curvam in punctis illis coeuntibus non amplius secare possunt sed tantum tangent.
# Escolio.
El nombre de sección cónica se toma aquí en un sentido amplio, de modo que se incluye tanto la sección rectilínea que pasa por el vértice del cono, como la circular paralela a la base. Pues si el punto p cae en la línea recta que une cualesquiera de dos de los cuatro puntos A, B, C, D, la sección cónica se convertirá en dos rectas gemelas, de las cuales una es aquella recta en la que cae el punto p, y la otra es la recta que une los otros dos de los cuatro puntos.
Si trapezii anguli duo oppositi simul sumpti æquentur duobus rectis, & lineæ quatuor PQ, PR, PS, PT ducantur ad latera ejus vel perpendiculariter vel in angulis quibusvis æqualibus, sitq; rectangulum sub duabus ductis PS × PR æquale rectangulo sub duabus aliis PS × PT, Sectio conica evadet Circulus.
Idem fiet si lineæ quatuor ducantur in angulis quibusvis & rectangulum sub duabus ductis PQ × PR sit ad rectangulum sub aliis duabus PS × PT ut rectangulum sub sinubus angulorum S, T, in quibus duæ ultimæ PS, PT ducuntur, ad rectangulum sub sinubus angulorum Q, R, in quibus duæ primæ PQ, PR ducuntur.
Cæteris in casibus Locus puncti P erit aliqua trium figurarum quæ vulgo nominantur Sectiones Conicæ.
En lugar del trapecio ABCD puede sustituirse un cuadrilátero cuyos dos lados opuestos se cruzan mutuamente a modo de diagonales. Mas también de los cuatro puntos A, B, C, D uno o dos pueden irse al infinito, y de ese modo los lados de la figura que convergen hacia aquellos puntos, Page 74 volverse paralelos: en cuyo caso la sección cónica pasará por los demás puntos y se dirigirá hacia las regiones de los paralelos en el infinito.