erunt ut AH ÷ SA , BI ÷ SB , &c. Et rectangula tu × th , uw × ui , &c. seu tp , uq , &c. ut AH × th ÷ SA ut BI × ui ÷ SB , &c. id est ut Aa , Bb &c. Est enim ex natura Hyperbolæ SA ad AH vel St , ut th ad Aa , adeoque AH × th ÷ SA æquale Aa . Et simili argumento est BI × ui ÷ SB æqualis Bb , &c. Sunt autem Aa , Bb , Cc , &c. continue proportionales, & propterea differentiis suis Aa - Bb , Bb - Cc , &c. proportionales; ideoque differentiis hisce proportionalia sunt rectangula tp , uq , &c. ut & summis differentiarum Aa - Cc vel Aa - Dd summæ rectangulorum tp + uq , vel tp + uq + wr . Sunto ejusmodi termini quam plurimi, & summa omnium differentiarum, puta Aa - Ff , erit summæ omnium rectangulorum, puta zthn , proportionalis. Augeatur numerus terminorum & minuantur distantiæ punctorum A , B , C , &c. in infinitum, & rectangula illa evadent æqualia areæ Hyperbolicæ zthn , adeoque huic areæ proportionalis est differentia Aa - Ff . Sumantur jam distantiæ quælibet, puta SA , SD , SF in Progressione Musica, & differentiæ Aa - Dd , Dd - Ff erunt æquales; & propterea differentiis hisce proportionales areæ thlx , xlnz æquales erunt inter se, & densitates St , Sx , Sz , id est AH , DL , FN , continue proportionales. Q. E. D. Page 300
Corol. Hinc si dentur Fluidi densitates duæ quævis, puta AH & CK, dabitur area thkw harum differentiæ tw respondens; & inde invenietur densitas FN in altitudine quacunque SF, sumendo aream thnz ad aream illam datam thkw ut est differentia Aa - Ff ad differentiam Aa - Cc.
# Escolio.
Con similar argumento puede probarse que, si la gravedad de las partículas del fluido se disminuye en razón triplicada de las distancias desde el centro; y los recíprocos de los cuadrados de las distancias SA, SB, SC, etc. (a saber, SA cub. ÷ SAq., SA cub. ÷ SBq., SA cub. ÷ SCq.) se toman en progresión aritmética, las densidades AH, BI, CK, etc. estarán en progresión geométrica. Y si la gravedad se disminuye en razón cuadruplicada de las distancias, y los recíprocos de los cubos de las distancias (por ejemplo, SA qq. ÷ SA cub., SA qq. ÷ SB cub., SA qq. ÷ SC cub.) se toman en progresión aritmética, las densidades AH, BI, CK, etc. estarán en progresión geométrica. Y así hasta el infinito. Nuevamente, si la gravedad de las partículas del fluido es la misma en todas las distancias, y las distancias están en progresión aritmética, las densidades estarán en progresión geométrica, como lo descubrió el varón ilustre Edmundus Halleius. Si la gravedad es como la distancia, y los cuadrados de las distancias están en progresión aritmética, las densidades estarán en progresión geométrica. Y así hasta el infinito. Esto es así cuando la densidad del fluido condensado por compresión es como la fuerza de compresión, o, lo que es igual, el espacio ocupado por el fluido es recíprocamente como esta fuerza. Pueden imaginarse otras leyes de condensación, como que el cubo de la fuerza comprimente sea como el bicuadrado de la densidad, o la razón triplicada de la fuerza igual a la razón cuadruplicada de la densidad. En cuyo caso, si la gravedad es recíprocamente como el cuadrado de la distancia desde el centro, la densidad será recíprocamente como el cubo de la distancia. Imagínese que el cubo de la fuerza comprimente es como el cubo-cuadrado de la densidad, y si la gravedad es recíprocamente como el cuadrado de la distancia, la densidad será recíprocamente en Page 301 razón sesquiplicada de la distancia. Imagínese que la fuerza comprimente está en razón duplicada de la densidad, y la gravedad recíprocamente en razón duplicada de la distancia, y la densidad será recíprocamente como la distancia. Recorrer todos los casos sería largo.