Centro C, Asymptotis rectangulis CADd & CH describatur Hyperbola BEeS, & Asymptoto CH parallelæ sint AB, DE, de. In Asymptoto CD dentur puncta A, G: Et si tempus exponatur per aream Hyperbolicam ABED uniformiter crescentem; dico quod velocitas exponi potest per longitudinem DF, cujus reciproca GD una cum data CG componat longitudinem CD in progressione Geometrica crescentem.
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Sit enim areola DEed datum temporis incrementum quam minimum, & erit Dd reciproce ut DE, adeoque directe ut CD. Ipsius autem 1 ÷ GD decrementum, quod (per hujus Lem. II.) est Dd ÷ GDq. erit ut CD ÷ GDq. seu {CG + GD} ÷ GDq., id est, ut {1 ÷ GD} + {CG ÷ GDq.}.
Igitur tempore ABED per additionem datarum particularum EDde uniformiter crescente, decrescit 1 ÷ GD in eadem ratione cum velocitate. Nam decrementum velocitatis est ut resistentia, hoc est (per Hypothesin) ut summa duarum quantitatum, quarum una est ut velocitas, altera ut quadratum velocitatis; & ipsius 1 ÷ GD decrementum est ut summa quantitatum 1 ÷ GD & CG ÷ GDq., quarum prior est ipsa 1 ÷ GD, & posterior CG ÷ GDq. est ut 1 ÷ GDq..
Proinde 1 ÷ GD, ob analogum decrementum, est ut velocitas. Et si quantitas GD ipsi 1 ÷ GD reciproce proportionalis quantitate data CG augeatur, summa CD, tempore ABED uniformiter crescente, crescet in progressione Geometrica.
Q. E. D.
Corol. 1. Igitur si datis punctis A, G, exponatur tempus per aream Hyperbolicam ABED, exponi potest velocitas per ipsius GD reciprocam 1 ÷ GD.
Corol. 2. Sumendo autem GA ad GD ut velocitatis reciproca sub initio, ad velocitatis reciprocam in fine temporis Page 276 cujusvis ABED, invenietur punctum G. Eo autem invento, velocitas ex dato quovis alio tempore inveniri potest.
Prop. XII. Theor. IX.
*Iisdem positis, dico quod si spatia descripta sumantur in progressione Arithmetica, velocitates data quadam quantitate auctæ erunt in progressione Geometrica.*
En la asíntota CD dase el punto R, y levantada la perpendicular RS, que concurra con la Hipérbola en S, expóngase el espacio descrito mediante el área hiperbólica RSED; y la velocidad será como la longitud GD, la cual con la dada CG compone la longitud CD, decreciente en progresión geométrica, mientras el espacio RSED aumenta en progresión aritmética.
Y en efecto, dado el incremento de espacio EDde , la pequeña línea Dd , que es el decremento de la propia GD , será recíprocamente como ED , y por lo tanto directamente como CD , esto es, como la suma de la misma GD y de la longitud dada CG . Mas el decremento de la velocidad, en el tiempo recíprocamente proporcional a sí mismo en el que se describe la dada partícula de espacio DdeE , es como la resistencia y el tiempo conjuntamente, esto es, directamente como la suma de dos cantidades, de las cuales una es la velocidad, la otra como el cuadrado de la