Nam in recta MN detur punctum N, & ubi punctum mobile M incidit in immotum N, incidat punctum mobile D in immotum P.
Junge CN, BN, CP, BP, & a puncto P age rectas PT, PR occurrentes ipsis BD, CD in T & R, & facientes angulum BPT æqualem angulo BNM & angulum CPR æqualem angulo CNM.
Cum ergo (ex Hypothesi) æquales sint anguli MBD, NBP, ut & anguli MCD, NCP: aufer communes NBD & MCP, & restabunt æquales NBM & PBT, NCM & PCR: adeoq; triangula NBM, PBT similia sunt, ut & triangula NCM, PCR.
Quare PT est ad NM ut PB ad NB, & PR ad NM ut PC ad NC. Ergo PT & PR datam habent rationem ad NM, proindeq; datam rationem inter se, atq; adeo, per Lemma XX, punctum P (perpetuus rectarum mobilum BT & CR concursus) contingit sectionem Conicam.
Q. E. D.
Y al contrario, si el punto D toca la sección cónica que pasa por los puntos B, C, A, y donde las líneas rectas BM, CM coinciden con la línea recta BC, ese punto D cae en algún punto A de la sección Page 79; mas cuando el punto D cae sucesivamente en otros cualesquiera dos puntos p, P de la sección, el punto móvil M cae sucesivamente en los puntos inmóviles n, N: por esos mismos n, N fúndese la línea recta nN, y esta será el Lugar geométrico perpetuo de aquel punto móvil M.
Pues, si es posible, que el punto M se encuentre en alguna línea curva. Por tanto, el punto D tocará la sección cónica que pasa por los cinco puntos C, p, P, B, A, donde el punto M toca perpetuamente la línea curva. Pero también, por lo ya demostrado, el punto D tocará asimismo la sección cónica que pasa por los mismos cinco puntos C, p, P, B, A, donde el punto M toca perpetuamente la línea recta. Por consiguiente, dos secciones cónicas pasarán por los mismos cinco puntos, contra el Corolario 3 del Lema XX. Por lo tanto, es absurdo que el punto M se encuentre en una línea curva.
Q. E. D.
Prop. XXII. Prob. XIV.
*Trajectoriam per data quinq; puncta describere.*