Corol. Igitur velocitas AP est ad velocitatem quam corpus tempore EDT, in spatio non resistente, ascendendo amittere vel descendendo acquirere posset, ut area trianguli DAP ad aream sectoris centro D, radio DA, angulo ADT descripti; ideoque ex dato tempore datur. Nam velocitas in Medio non resistente, tempori atque adeo Sectori huic proportionalis est; in Medio resistente est ut triangulum; & in Medio utroq; ubi quam minima est, accedit ad rationem æqualitatis, pro more Sectoris & Trianguli.
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Prop. XIV. Prob. IV.
*Iisdem positis, dico quod spatium ascensu vel descensu descriptum, est ut summa vel differentia areæ per quam tempus exponitur, & areæ cujusdam alterius quæ augetur vel diminuitur in progressione Arithmetica; si vires ex resistentia & gravitate compositæ sumantur in progressione Geometrica.*
Capiatur AC (in Fig. tribus ultimis,) gravitati, & AK resistentiæ proportionalis. Capiantur autem ad easdem partes puncti A si corpus ascendit, aliter ad contrarias. Erigatur Ab quæ sit ad DB ut DBq. ad 4BAC: & area AbNK augebitur vel diminuetur in progressione Arithmetica, dum vires CK in progressione Geometrica sumuntur.
Dico igitur quod distantia corporis ab ejus altitudine maxima sit ut excessus areæ AbNK supra aream DET.
Nam cum AK sit ut resistentia, id est ut APq. + 2BAP; assumatur data quævis quantitas Z, & ponatur AK æqualis {APq. + 2BAP} ÷ Z; & (per hujus Lem. II.) erit ipsius AK momentum KL æquale {2APQ + 2BA × PB} ÷ Z seu 2BPQ ÷ Z, & areæ AbNK momentum KLON æquale 2BPQ × LO ÷ Z seu {BPQ × BD cub.} ÷ {2Z × CK × AB}.
Cas. 1. Jam si corpus ascendit, sitque gravitas ut ABq. + BDq. existente BET circulo, (in Fig. Cas. 1. Prop. XIII.) linea AC, quæ gravitati proportionalis est, erit {ABq. + BDq.} ÷ Z & DPq. seu APq. + 2BAP + ABq. + BDq. erit AK × Z + AC × Z seu CK × Z; ideoque area DTV erit ad aream DPQ ut DTq. vel DBq. ad CK × Z. Page 281
Cas. 2. Sin corpus ascendit, & gravitas sit ut ABq. - BDq. linea AC (Fig. Cas. 2. Prop. XIII.) erit {ABq. - BDq.} ÷ Z, & DTq. erit ad DPq. ut DFq. seu DBq. ad BPq. - BDq. seu APq. + 2BAP + ABq. - BDq. id est ad AK × Z + AC × Z seu CK × Z. Ideoque area DTV erit ad aream DPQ ut DBq. ad CK × Z.
- Cas. 3. Y por el mismo argumento, si un cuerpo desciende, y por lo tanto la gravedad fuera como BDq. - ABq. y la línea AC (Fig. Cas. 3. Prop. præced.) fuera igual a {BDq. - ABq.} ÷ Z, el área DTV será a la área DPQ como DBq. a CK × Z: como arriba.
Como, por tanto, aquellas áreas estén siempre en esta razón; si por el área DTV , por la cual se expone un momento del tiempo siempre igual a sí mismo, se escribe un rectángulo cualquiera determinado, digamos BD × m , el área DPQ , esto es, ½ BD × PQ ; será a BD × m como CK en Z a BDq. Y de ahí resulta PQ en BD cub. igual a 2 BD × m × CK × Z , y el momento del área AbNK , KLON , hallado antes, resulta BP × BD × m ÷ AB . Quítese el momento del área DET , DTV o BD × m , y quedará AP × BD × m ÷ AB . Es, por tanto, la diferencia de los momentos, esto es, el momento de la diferencia de las áreas, igual a AP × BD × m ÷ AB ; y