| bT m - mbXT m - 1 + { mm - m }÷2 bX 2 T m - 2 + cT n - ncXT n - 1 + { nn - n }÷2 cX 2 T n - 2 &c. |
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| Un cachorro. |
& comparando los términos de los numeradores, se hace RGq. - RFq. + TFq. a bTm + cTn, como -Fq. a -mbTm - 1 - ncTn - 1 + {mm - m}÷2 XTm - 2 + {nn - n}÷2 XTn - 2 &c. Y tomando las razones últimas que resultan cuando los orbes se aproximan a la forma circular, se hace Gq. a bTm - 1 + cTn - 1, como Fq. a mbTm - 1 + ncTn - 1, & recíprocamente Gq. a Fq. como bTm - 1 + cTn - 1 a mbTm - 1 + ncTn - 1.
Quæ proportio, exponendo altitudinem maximam CV seu T Arithmetice per unitatem, fit Gq. ad Fq. ut b + c ad mb + nc, adeoq; ut 1 ad {mb + nc} ÷ {b + c}. Unde est G ad F, id est angulus VCp ad angulum VCP, ut 1 ad √{{mb + nc} ÷ {b + c}}.
Et propterea cum angulus VCP inter Apsidem summam & Apsidem imam in Ellipsi immobili sit 180 gr. erit angulus VCp inter easdem Apsides, in Orbe quem corpus vi centripeta quantitati {bAm + cAn} ÷ A cub. proportionali describit, æqualis angulo graduum 180 √{{b + c} ÷ {mb + nc}}.
Et eodem argumento si vis centripeta sit ut {bAm - cAn} ÷ A cub., angulus inter Apsides invenietur 180 √{{b - c} ÷ {mb - nc}} graduum.
Y del mismo modo se resolverá el Problema de la página 142 en los casos más difíciles. La cantidad a la que es proporcional la fuerza centrípeta debe resolverse siempre en series convergentes que tengan como denominador A cub.
Después, la parte dada del Numerador RGq. - RFq. + TFq. - Fq.X debe igualarse a la parte no dada en la misma razón: Y suprimiendo las cantidades superfluas, y escribiendo la unidad en lugar de T, se obtendrá la proporción de G a F.
Corol. 1. Hinc si vis centripeta sit ut aliqua altitudinis dignitas, inveniri potest dignitas illa ex motu Apsidum; & contra. Nimirum si motus totus angularis, quo corpus redit ad Apsidem eandem, sit ad motum angularem revolutionis unius, seu graduum 360, ut numerus aliquis m ad numerum alium n, & altitudo nominetur A: erit vis ut altitudinis dignitas illa Ann/mm - 3, cujus Index est nn/mm - 3. Id quod per Exempla secunda manifestum est.
Donde consta que dicha fuerza no puede decrecer en una razón de la altura mayor que la triplicada:
- Un cuerpo que gire con tal fuerza y, al alejarse de la Ápside, comience a descender, nunca llegará a la Ápside ima o altura mínima, sino que descenderá hasta el centro, describiendo aquella línea curva de la que tratamos en el Corol. 3 de la Prop. XLI.
- Si, al alejarse de la Ápside, dicho cuerpo comience a ascender aunque sea mínimamente, ascenderá hasta el infinito, y nunca llegará a la Ápside suma. Pues describirá aquella línea curva de la que se trató en el mismo Corolario y en el Corolario 6 de la Prop. XLIV.
Así también, cuando la fuerza en el receso del centro decrece en una razón de la altura mayor que la triplicada, el cuerpo que se aleja de la Ápside, según comience a descender o a ascender, o bien descenderá hasta el centro o bien ascenderá hasta el infinito.