se resolverá expeditamente mediante los primeros términos de la serie: como en los Ejemplos siguientes.
Exempl. 1. Sea la línea ACK un semicírculo descrito sobre el diámetro AK, y requiérase la densidad del medio que haga que el proyectil se mueva en esta línea.
Bisecetur semicirculi diameter AK in O; & dic OK n, OB a, BC e, & BD vel Bi o: & erit DGq. seu OGq. - ODq. æquale nn - aa - 2ao - oo seu ee - 2ao - oo; & radice per methodum nostram extracta, fiet DG = e - ao ÷ e - oo ÷ 2e - aaoo ÷ 2e3 - ao3 ÷ 2e3 - a3o3 ÷ 2e5 &c. Hic scribatur nn pro ee + aa & evadet DG = e - ao ÷ e - nnoo ÷ 2e3 - anno3 ÷ 2e5 &c.
Divido esta clase de series en términos sucesivos de este modo. Llamo primer término a aquel en el que la cantidad infinitamente pequeña o no existe; segundo, a aquel en el que dicha cantidad existe en una sola dimensión; tercero, en el que existe en dos; cuarto, en el que hay tres, y así hasta el infinito. Y el primer término, que aquí es e, denotará siempre la longitud de la ordenada BC situada sobre el origen B de la cantidad indefinida; el segundo Page 264 término, que aquí es ao ÷ e, denotará la diferencia entre BC y DF, es decir, la lineíta IF, que se intercepta completando el paralelogramo BC - ID, y por lo tanto determina siempre la posición de la tangente CF: como en este caso tomando IF respecto a IC como ao ÷ e es a o o a a e. El tercer término, que aquí es nnoo ÷ 2e3, designará la lineíta FG, que yace entre la tangente y la curva, y por lo tanto determina el ángulo de contacto FCG, o la curvatura que la línea curva tiene en C. Si dicha lineíta FG es de magnitud finita, será designada por el tercer término junto con los siguientes hasta el infinito. Mas si dicha lineíta se reduce al infinito, los términos siguientes se volverán infinitamente menores que el tercero, y por tanto podrán despreciarse. El cuarto término, que aquí es anno3 ÷ 2e5, muestra la variación de la curvatura; el quinto, la variación de la variación, y así sucesivamente. De donde se hace evidente de paso el uso nada despreciable de estas series en la solución de problemas que dependen de las tangentes y de la curvatura de las curvas.
Præterea CF est latus quadratum ex CIq. & IFq. hoc est ex BDq. & quadrato termini secundi. Estq; FG + kl æqualis duplo termini tertii, & FG - kl æqualis duplo quarti. Nam valor ipsius DG convertitur in valorem ipsius il, & valor ipsius FG in valorem ipsius kl, scribendo Bi pro BD, seu -o pro +o. Proinde cum FG sit - nnoo ÷ 2e3 - anno3 ÷ 2e5 &c. erit kl = - nnoo ÷ 2e3 + anno3 ÷ 2e5, &c. Et horum summa est - nnoo ÷ e3, differentia - anno3 ÷ e5. Terminum quintum & sequentes hic negligo, ut infinite minores quam qui in hoc Problemate considerandi veniant.
Itaq; si designetur Series universaliter his terminis ± Qo - Roo - So3 &c. erit CF æqualis √oo + QQoo, FG + kl æqualis 2Roo, & FG - kl æqualis 2So3. Pro CF, FG + kl & FG - kl scribantur Page 265 hi earum valores, & Medii densitas quæ erat ut {FG - kl} ÷ {CF in FG + kl} jam fiet ut S ÷ {R √1 + QQ}.
Deducendo igitur Problema unumquodq; ad seriem convergentem, & hic pro Q, R & S scribendo terminos seriei ipsis respondentes; deinde etiam ponendo resistentiam Medii in loco quovis G esse ad Gravitatem ut S√1 + QQ ad 2RR, & velocitatem esse illam ipsam quacum corpus, de loco C secundum rectam CF egrediens, in Parabola, diametrum CB & latus rectum {1 + QQ} ÷ R habente, deinceps moveri posset, solvetur Problema.
Así pues, en el Problema que ya se está resolviendo, si se escribe 1 + a a ÷ e e o bien n ÷ e en lugar de 1 + Q Q , n n ÷ 2 e 3 en lugar de R , y a n n ÷ 2 e 3 en lugar de S , resultará la densidad del Medio como a ÷ n e