Nam si velocitate quam habet in μ, eodem tempore progrediatur uniformiter in recta quæ Parabolam tangit in μ; area quam Radio ad punctum S ducto describeret, æqualis esset areæ Parabolicæ ASCμ. Ideoque contentum sub longitudine in Tangente Page 486 descripta & longitudine Sμ, esset ad contentum sub longitudinibus AC & SM, ut area ASCμ ad triangulum ASCM, id est ut SN ad SM. Quare AC est ad longitudinem in tangente descriptam ut Sμ ad SN.
Cum autem velocitas Cometæ in altitudine SP sit ad velocitatem in altitudine Sμ in dimidiata ratione SP ad Sμ inversè, id est in ratione Sμ ad SN, longitudo hac velocitate eodem tempore descripta, erit ad longitudinem in Tangente descriptam ut Sμ ad SN.
Igitur AC & longitudo hac nova velocitate descripta, cum sint ad longitudinem in Tangente descriptam in eadem ratione, æquantur inter se.
Q. E. D.
Corol. Cometa igitur ea cum velocitate, quam habet in altitudine Sμ + ⅔Iμ, eodem tempore describeret chordam AC quamproximè.
# Lema XI.
*Si Cometa motu omni privatus de altitudine* SN *seu* Sμ + ⅓Iμ *demitteretur, ut caderet in Solem, & ea semper vi uniformiter continuata urgeretur in Solem qua urgetur sub initio; idem tempore in orbe suo describat arcum* AC*, descensu suo describeret spatium longitudini* Iμ *æquale.*
Nam Cometa quo tempore describat arcum Parabolicum AC, eodem tempore ea cum velocitate quam habet in altitudine SP (per Page 487 Lemma novissimum) describet chordam AC, adeoque eodem tempore in circulo cujus semidiameter esset SP revolvendo, describeret arcum cujus longitudo esset ad arcus Parabolici chordam AC in dimidiata ratione unius ad duo. Et propterea eo cum pondere quod habet in Solem in altitudine SP, cadendo de altitudine illa in Solem, describeret eodem tempore (per Scholium Prop. IV. Lib. I.) spatium æquale quadrato semissis chordæ illius applicato ad quadruplum altitudinis SP, id est spatium AIq. ÷ 4SP. Unde cum pondus Cometæ in Solem in altitudine SN sit ad ipsius pondus in Solem in altitudine SP, ut SP ad Sμ: Cometa pondere quod habet in altitudine SN eodem tempore, in Solem cadendo, describet spatium AIq. ÷ 4Sμ, id est spatium longitudini Iμ vel Mμ æquale.
Q. E. D.
Prop. XLI. Prob. XX.
*Cometæ in Parabola moventis Trajectoriam ex datis tribus observationibus determinare.*
Habiendo abordado este problema, que es de lejos el más difícil, de múltiples maneras, compuse en el primer libro algunos problemas que se refieren a su solución. Después ideé la siguiente solución, un poco más simple.
Selíjanse tres observaciones a iguales intervalos de tiempo entre sí, distantes lo más posible. Sea, sin embargo, aquel intervalo de tiempo en el que el Cometa se mueve más lentamente un poco mayor que el otro, de tal