Cuerpos B, b que giran en las circunferencias de los círculos BD, bd, describan simultáneamente los arcos BD, bd. Puesto que por la sola fuerza insita describirían tangentes BC, bc iguales a estos arcos, es manifiesto que son las fuerzas centrípetas las que retiran perpetuamente a los cuerpos de las tangentes hacia las circunferencias de los círculos, y por tanto estas son entre sí en la razón primera de los espacios nacientes CD, cd: pero tienden hacia los centros de los círculos por el Teorema II, debido a que las áreas descritas por los radios se ponen proporcionales a los tiempos.
Hágase la figura tkb semejante a la figura DCB, y por el Lema V, la lineola CD será a la lineola kt como el arco BD al arco bt: asimismo, por el Lema XI, la lineola naciente tk a la lineola naciente dc como el cuadrado de bt al cuadrado de bd; y ex æquo la lineola naciente DC a la lineola naciente dc como BD × bt al cuadrado de bd, o lo que es igual, como BD × bt ÷ Sb al cuadrado de bd ÷ Sb, por lo tanto (debido a las razones iguales bt ÷ Sb y BD ÷ SB) como el cuadrado de BD ÷ SB al cuadrado de bd ÷ Sb.
Q. E. D.
Corol. 1. Hinc vires centripetæ sunt ut velocitatum quadrata applicata ad radios circulorum.
Corol. 2. Et reciproce ut quadrata temporum periodicorum Page 42 applicata ad radios ita sunt hæ vires inter se. Id est (ut cum Geometris loquar) hæ vires sunt in ratione composita ex duplicata ratione velocitatum directe & ratione simplici radiorum inverse: necnon in ratione composita ex ratione simplici radiorum directe & ratione duplicata temporum periodicorum inverse.
Corol. 3. Unde si tempora periodica æquantur, erunt tum vires centripetæ tum velocitates ut radii, & vice versa.
Corol. 4. Si quadrata temporum periodicorum sunt ut radii, vires centripetæ sunt æquales, & velocitates in dimidiata ratione radiorum: Et vice versa.
Corol. 5. Si los cuadrados de los tiempos periódicos son como los cuadrados de los radios, las fuerzas centrípetas son recíprocamente como los radios, y las velocidades iguales; Y viceversa.
Corol. 6. Si quadrata temporum periodicorum sunt ut cubi radiorum, vires centripetae sunt reciproce ut quadrata radiorum; velocitates autem in radiorum dimidiata ratione: Et vice versa.
Corol. 7. Lo mismo cabe decir de los tiempos, velocidades y fuerzas con que los cuerpos describen las partes de figuras semejantes cualesquiera, que tienen centros situados de manera semejante, y se sigue de la demostración de los anteriores aplicada a estos casos.
# Escolio.
El caso del sexto corolario se cumple en los cuerpos celestes (como también lo concluyeron por separado nuestros compatriotas Wren, Hooke y Halley) y por ello he decidido exponer con más detalle en lo que sigue lo que se refiere a la fuerza centrípeta que decrece en razón duplicada de las distancias a los centros.
Porro præcedentis demonstrationis beneficio colligitur etiam proportio vis centripetæ ad vim quamlibet notam, qualis est ea gravitatis. Nam cum vis illa, quo tempore corpus percurrit arcum BC, impellat ipsum per spatium CD, quod ipso motus initio æquale est quadrato arcus illius BD ad circuli diametrum applicato; & corpus