Cas. 1. Sea ACBD una esfera, S su centro, P un corpúsculo atraído, PASB el eje de la esfera que pasa por el centro del corpúsculo, EF, ef dos planos por los cuales es cortada la esfera, perpendiculares a este eje y distantes a uno y otro lado por igual del centro de la esfera; Gg las intersecciones de los planos y el eje, y H un punto cualquiera en el plano EF.
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Puncti H vis centripeta in corpusculum P secundum lineam PH exercita est ut distantia PH, & (per Legum Corol. 2.) secundum lineam PG, seu versus centrum S, ut longitudo PG. Igitur punctorum omnium in plano EF, hoc est plani totius vis, qua corpusculum P trahitur versus centrum S, est ut numerus punctorum ductus in distantiam PG: id est ut contentum sub plano ipso EF & distantia illa PG.
Y del mismo modo la fuerza del plano ef, con la que el corpúsculo P es atraído hacia el centro S, es como ese plano multiplicado por su distancia Pg; o como un plano EF igual a este multiplicado por aquella distancia Pg; y la suma de las fuerzas de uno y otro plano es como el plano EF multiplicado por la suma de las distancias PG + Pg, esto es, como ese plano multiplicado por la distancia doble del centro y del corpúsculo PS, es decir, como el plano doble EF multiplicado por la distancia PS, o como la suma de los planos iguales EF + ef multiplicada por la misma distancia.
Y por un argumento semejante, las fuerzas de todos los planos en la Esfera total, equidistantes por todas partes del centro de la Esfera, son como la suma de los planos multiplicada por la distancia PS, esto es, como la Esfera total multiplicada por la distancia de su centro S al corpúsculo P.
Q. E. D.
Cas. 2. Trahat jam corpusculum P Sphæram ACBD. Et eodem argumento probabitur quod vis, qua Sphæra illa trahitur, erit ut distantia PS. Q. E. D.
Cas. 3. Componatur jam Sphæra altera ex corpusculis innumeris P; & quoniam vis, qua corpusculum unumquodq; trahitur, est ut distantia corpusculi a centro Sphæræ primæ ducta in Sphæram eandem, atq; adeo eadem est ac si prodiret tota de corpusculo unico in centro Sphæræ; vis tota qua corpuscula omnia in Sphæra secunda trahuntur, hoc est, qua Sphæra illa tota trahitur, eadem erit ac si Sphæra illa traheretur vi prodeunte de Page 202 corpusculo unico in centro Sphæræ primæ, & propterea proportionalis est distantiæ inter centra Sphærarum.
Q. E. D.
Cas. 4. Trahant Sphæræ se mutuo, & vis geminata proportionem priorem servabit. Q. E. D.
Cas. 5. Colóquese ahora el corpúsculo p dentro de la Esfera ACBD, y puesto que la fuerza del plano ef sobre el corpúsculo es como el contenido bajo dicho plano y la distancia pg; y la fuerza contraria del plano EF como el contenido bajo dicho plano y la distancia pG; la fuerza compuesta de ambos será como la diferencia de los contenidos, esto es, como la suma de los planos iguales multiplicada por la semisuma de la diferencia de las distancias, es decir, como dicha suma multiplicada por pS, distancia del corpúsculo al centro de la Esfera. Y por análogo argumento la atracción de todos los planos EF, ef en la Esfera toda, esto es, la atracción de la Esfera toda, es como la suma de todos los planos, o la Esfera toda, multiplicada por pS, distancia del corpúsculo al centro de la Esfera. Q. E. D.