Pátese que el EP es igual al semieje mayor AC, debido a que, trazada desde el otro foco de la elipse H una línea HI paralela al propio EC (por ser iguales CS, CH), se igualan ES, EI, de modo que EP es la semisuma de los segmentos PS, PI, esto es (por las paralelas HI, PR y los ángulos iguales IPR, HPZ) de los segmentos PS, PH, los cuales tomados conjuntamente equivalen al eje total 2AC.
Ad SP demittatur perpendicularis QT, & Ellipseos latere recto principali (seu 2BC quad. ÷ AC) dicto L, erit L × QR ad L × Pv ut QR ad Pv; id est ut PE (seu AC) ad PC; & L × Pv ad GvP ut L ad Gv; Page 51 & GvP ad Qv quad. ut CP quad. ad CD quad.; & (per Lem. VIII.) Qv quad. ad Qx quad. punctis Q & P coeuntibus, est ratio æqualitatis, & Qx quad. seu Qv quad. est ad QT quad. ut EP quad. ad PF quad., id est ut CA quad. ad PF quad. sive (per Lem. XII.) ut CD quad. ad CB quad.
Y reunidas todas estas razones, L × QR es a QT quad. como AC es a PC + L a Gv + CPq. a CDq. + CDq. a CBq., es decir, como AC × L (o 2CBq.) × CPq. a PC × Gv × CBq. o como 2PC a Gv. Mas coincidiendo los puntos Q y P, se igualan 2PC y Gv. Por tanto, también las cosas proporcionales a estos, L × QR y QT quad., se igualan.
Multiplíquense estos valores por SPq. ÷ QR y resultará L × SPq. igual a SPq. × QTq. ÷ QR. Por tanto (por el Corol. del Teor. V.), la fuerza centrípeta es inversamente proporcional a L × SPq., esto es, en razón duplicada inversa de la distancia SP.
Q. E. I.
Con la misma brevedad con que tradujimos el quinto problema a la parábola y a la hipérbola, nos sería lícito hacer lo mismo aquí; pero, debido a la dignidad del problema y a su uso en lo que sigue, no pesará confirmar los demás casos con una demostración.
**Prop. XII. Prob. VII.**
* Moveatur corpus in Hyperbola: requiritur lex vis centripetæ tendentis ad umbilicum figuræ.