Cas. 1. Únase BP, CP y desde el punto D condúzcanse dos rectas DG, DE, de las cuales la primera DG sea paralela a la propia AB y corte a PB, PQ, CA en H, I, G; la otra DE sea paralela a la propia AC y corte a PC, PS, AB en F, K, E: y será (por el Lema XVII.) el rectángulo DE × DF respecto al rectángulo DG × DH en razón dada. Mas PQ es a DE o IQ, como PB es a HB, y por tanto como PT es a DH; y a su vez PQ es a PT como DE es a DH. Es también PR es a DF como RC es a DC, y por tanto como IG o PS es a DG, y a su vez PR es a PS como DF es a DG; y compuestas las razones resulta el rectángulo PQ × PR respecto al rectángulo PS × PT como el rectángulo DE × DF al rectángulo DG × DH, y por tanto en razón dada. Mas se dadas PQ y PS y por ello se da la razón de PR a PT.
Q. E. D.
Cas. 2. Y si PR y PT se ponen en razón dada entre sí, entonces por semejante razonamiento, retrocediendo, se seguirá que el rectángulo DE × DF es al rectángulo DG × DH en razón dada, y por tanto que el punto D (por el Lema XVIII) toca una sección cónica que pasa por los puntos A, B, P, C. Q. E. D.
Corol. 1. Hinc si agatur BC secans PQ in r, & in PT capiatur Pt in ratione ad Pr quam habet PT ad PR, erit Bt Tangens Page 77 Conicæ sectionis ad punctum B. Nam concipe punctum D coire cum puncto B ita ut, chorda BD evanescente, BT Tangens evadet; & CD ac BT coincident cum CB & Bt.
Corol. 2. Et vice versa si Bt sit Tangens, & ad quodvis Conicæ sectionis punctum D conveniant BD, CD erit PR ad PT ut Pr ad Pt. Et contra, si sit PR ad PT ut Pr ad Pt, convenient BD, CD ad Conicæ sectionis punctum aliquod D.
Corol. 3. Sección cónica alguna no corta a otra sección cónica en más de cuatro puntos. Pues, si es posible, pasen dos secciones cónicas por cinco puntos A, B, C, D, P, y córtelas la recta BD en los puntos D, d, y a la misma PQ córtela la recta Cd en r. Luego PR es a PT como Pr a PT, esto es, PR y Pr son iguales entre sí, contra la hipótesis.