quad. a Ab quad. se compone de las razones de AG a Ag y de BD a bd . Mas puesto que JG puede tomarse menor que cualquier longitud asignada, puede suceder eque la razón de AG a Ag difiera menos de la razón de igualdad que por cualquier diferencia asignada, y por tanto que la razón de AB quad. a Ab quad. difiera menos de la razón de BD a bd que por cualquier diferencia asignada. Es, pues, por el Lema I, la razón última de AB quad. a Ab quad. igual a la razón última de BD a bd. Q. E. D.
Cas. 2. Inclínese ya BD hacia AD en un ángulo cualquiera dado, y la razón última de BD a bd será siempre la misma que antes, y por consiguiente la misma que la de AB quad. a Ab quad. Q. E. D.
Cas. 3. Y aunque el ángulo D no se dé, sin embargo los ángulos D, d tenderán siempre hacia la igualdad y se acercarán mutuamente más que para cualquier diferencia asignada, y por lo tanto a la postre serán iguales, por el Lem. I., y por eso las líneas BD, bd [estarán] en la misma razón entre sí que antes. Q. E. D.
Corol. 1. Unde cum tangentes AD, Ad, arcus AB, Ab & eorum sinus BC, bc fiant ultimo chordis AB, Ab æquales; erunt etiam illorum quadrata ultimo ut subtensæ BD, bd.
Corol. 2. Triangula rectilinea ADB, Adb sunt ultimo in triplicata ratione laterum AD, Ad, inq; sesquiplicata laterum DB, db: Utpote in composita ratione laterum AD & DB, Ad & db existentia.
Sic & triangula ABC, Abc sunt ultimo in triplicata ratione laterum BC, bc.
Corol. 3. Y puesto que DB, db son en último término paralelas y están en razón duplicada de las mismas AD, Ad; las áreas últimas curvilíneas Page 34 ADB, Adb (por la naturaleza de la parábola) serán dos terceras partes de los triángulos rectilíneos ADB, Adb, y los segmentos AB, Ab las terceras partes de esos mismos triángulos. Y de ahí estas áreas y estos segmentos estarán en razón triplicada tanto de las tangentes AD, Ad; como de las cuerdas y arcos AB, Ab.
# Escolio.
Cæterum in his omnibus supponimus angulum contactus nec infinite majorem esse angulis contactuum, quos circuli continent cum tangentibus suis, nec iisdem infinite minorem; hoc est curvaturam ad punctum A, nec infinite parvam esse nec infinite magnam, seu intervallum AJ finitæ esse magnitudinis.
Capi enim potest DB ut AD3: quo in casu circulus nullus per punctum A inter tangentem AD & curvam AB duci potest, proindeq; angulus contactus erit infinite minor circularibus.
Et simili argumento si fiat DB successive ut AD4, AD5, AD6, AD7, &c. habebitur series angulorum contactus pergens in infinitum, quorum quilibet posterior est infinite minor priore.
Y si se hace DB sucesivamente igual a AD2, AD3/2, AD4/3, AD5/4, AD6/5, AD7/6, &c., se tendrá otra serie infinita de ángulos de contacto, cuyo primero es del mismo género que los circulares, el segundo infinitamente mayor, y cada uno de los siguientes infinitamente mayor que el anterior.
Sed & inter duos quosvis ex his angulis potest series utrinq; in infinitum pergens angulorum intermediorum inseri, quorum quilibet posterior erit infinite major priore. Ut si inter terminos AD2 & AD3 inseratur series AD13/6, AD11/5, AD9/4, AD7/3, AD5/2, AD8/3, AD11/4, AD14/5, AD17/6, &c. Et rursus inter binos quosvis angulos hujus seriei inseri potest series nova angulorum intermediorum ab invicem infinitis intervallis differentium.