Imagínese ahora que un cuerpo C describe al caer una pequeña línea Cc en la menor partícula de tiempo posible, y que entretanto otro cuerpo K, girando uniformemente en un círculo OKk alrededor del centro S, describe el arco Kk Page 119. Levántense perpendiculares CD, cd que concurran con la figura DES en D, d. Unanse SD, SK, Sk y trácese Dd que concurra con el eje AS en T, y a ella bájese la perpendicular SY.
Cas. 1. Si jam si la figura DES es una elipse o una hipérbola, biséquese su diámetro transversal AS en O, y SO será la mitad del lado recto. Y puesto que TC es a TD como Cc es a Dd, y TD es a TS como CD es a SY, por razón aequi [ex æquo] TC será a TS como CD × Cc es a SY × Dd. Mas por el Corolario de la Proposición 33, TC es a ST como AC es a AO, esto es, si en la coincidencia de los puntos D, d se toman las razones últimas de las líneas. Luego AC es a AO, esto es, a SK, como CD × Cc es a SY × Dd. Además, la velocidad del cuerpo que desciende en C es a la velocidad del cuerpo que describe un círculo con el intervalo SC alrededor del centro S en razón subduplicada de AC a AO o SK (por el Teorema IX). Y esta velocidad es a la velocidad del cuerpo que describe el círculo OKk en razón subduplicada de SK a SC por el Corolario 6 del Teorema IV, y por razón aequi la primera velocidad a la última, esto es, la reglilla Cc al arco Kk en razón subduplicada de AC a SC, esto es, en razón de AC a CD. Por lo cual CD × Cc es igual a AC × Kk, y por tanto AC es a SK como AC × Kk es a SY × Dd, y de ahí SK × Kk es igual a SY × Dd, y ½SK × Kk es igual a ½SY × Dd, esto es, el área KSk es igual al área SDd. Por consiguiente, en cada partícula de tiempo se generan partículas de las dos áreas KSk, SDd, las cuales, si su magnitud se disminuye y su número se aumenta hasta el infinito, obtienen una razón de igualdad, y por tanto (por el Corolario del Lema IV) las áreas totales generadas simultáneamente son siempre iguales. Q. E. D.