Sumatur DR ad ½ aB ut DK ad CF , & erit MN ad Dd ut DR ad ½ aB ; ideoque summa omnium MN × ½ aB , id est Aa × ½ aB , æqualis erit summæ omnium Dd × DR , id est areæ BRrSa , quam rectangula omnia Dd × DR Page 314 seu DRrd componunt. Bisecentur Aa & aB in P & O , & erit ½ aB seu OB æqualis CP , ideoque DR est ad DK ut CP ad CF vel CM , & divisim KR ad DR ut PM ad CP . Ideoque cum punctum M , ubi corpus versatur in medio oscillationis loco O , incidat circiter in punctum P , & priore oscillationis parte versetur inter A & P , posteriore autem inter P & a , utroque in casu æqualiter a puncto P in partes contrarias errans: punctum K circa medium oscillationis locum, id est e regione puncti O , puta in V , incidet in punctum R ; in priore autem oscillationis parte jacebit inter R & E , & in posteriore inter R & D , utroque in casu æqualiter a puncto R* in partes contrarias errans. Proinde area quam linea KR describit, priore oscillationis parte jacebit extra aream BRSa , posteriore intra eandem, idque dimensionibus hinc inde propemodum æquatis inter se; & propterea in casu priore addita areæ BRSa , in posteriore eidem subducta, relinquet aream BKTa areæ BRSa æqualem quam proxime. Ergo rectangulum Aa × ½ aB seu AaO , cum sit æquale areæ BRSa , erit etiam æquale areæ BKTa quamproxime. Q. E. D.
Corol. Hinc ex lege resistentiæ & arcuum Ca, CB differentia Aa, colligi potest proportio resistentiæ ad gravitatem quam proxime.
Nam si uniformis sit resistentia DK, figura aBKkT rectangulum erit sub Ba & DK, & inde rectangulum sub ½Ba & Aa æqualis erit rectangulo sub Ba & DK, & DK æqualis erit ½Aa. Quare cum DK sit exponens resistentiæ, & longitudo penduli exponens gravitatis, erit resistentia ad gravitatem ut ½Aa ad longitudinem Penduli; omnino ut in Propositione XXVIII. demonstratum est.
Si la resistencia es como la velocidad, la figura aBKkT será una elipsis muy próximamente.
En efecto, si un cuerpo, en un medio no resistente, describiese en una oscilación completa la longitud BA, la velocidad en un lugar cualquiera D sería como la ordenada aplicada DE descrita sobre el diámetro del círculo AB. Por tanto, como Ba en el medio resistente y BA en el medio no resistente se describen en tiempos más o menos iguales; y por consiguiente, Page 315 las velocidades en cada uno de los puntos del propio Ba son muy próximamente respecto a las velocidades en los puntos correspondientes de la longitud BA como Ba es a BA; la velocidad DK en el medio resistente será como la ordenada aplicada del círculo o de la elipsis descrita sobre el diámetro Ba; y por consiguiente, la figura BKVTa será una elipsis, muy próximamente.
Como se supone que la resistencia es proporcional a la velocidad, sea OV el exponente de la resistencia en el punto medio O; y la elipsis descrita con centro O, de semiejes OB, OV, igualará muy próximamente a la figura aBKVT, y al rectángulo Aa × BO igual a ella.
Es, por tanto, Aa × BO a OV × BO como el área de esta elipsis es a OV × BO: esto es, Aa a OV como el área del semicírculo es al cuadrado del radio, o sea como 11 y 7 próximamente. Y por eso:
7/11Aa a la longitud del péndulo es como la resistencia del cuerpo oscilante en O es a su gravedad.
Y si la resistencia DK fuere en razón duplicada de la velocidad, la figura BKTVa será una parábola que tendrá su vértice en V y su eje en OV , y por lo tanto será igual a las dos terceras partes del rectángulo bajo Ba y OV , muy aproximadamente.