Sit autem AP via tota curvilinea descripta ex quo Rota globum tetigit in A , & erit viæ hujus longitudo AP ad duplum sinum versum arcus ½ PB , ut 2 CE ad CB . Nam recta CE (si Page 149 opus est producta) occurrat Rotæ in V , junganturq; CP , BP , EP , VP , & in CP productam demittatur Normalis VF . Tangant PH , VH circulum in P & V concurrentes in H , secetq; PH ipsam VF in G , & ad VP demittantur Normales GI , HK . Centro item C & intervallo quovis describatur circulus nom secans rectam CP in n , Rotæ perimetrum Bp in o & viam curvilineam AP in m , centroq; V & intervallo Vo describatur circulus secans VP productam in q .
Quoniam Rota eundo semper revolvitur circa punctum contactus B, manifestum est quod recta BP perpendicularis est ad lineam illam curvam AP, quam Rotæ punctum P describit, atq; adeo quod recta VP tanget hanc curvam in puncto P.
Aumentándose sensuadamente el radio del círculo nom, iguálese al fin a la distancia CP, y por la semejanza de la figura evanescente Pnomq y de la figura PFGVI, la razón última de las líneolas evanescentes Pm, Pn, Po, Pq, esto es, la razón de los incrementos momentáneos de la curva AP, de la recta CP y del arco circular BP, y del decremento de la recta VP, será la misma que la de las líneas PV, PF, PG, PI respectivamente.
Cum autem VF ad CF & VH ad CV perpendiculares sunt, anguliq; HVG, VCF propterea æquales; & angulus VHP, (ob angulos quadrilateri HVEP ad V & P rectos,) complet angulum VEP ad duos rectos, adeoq; angulo CEP æqualis est, similia erunt triangula VHG, CEP; & inde fiet ut EP ad CE ita HG ad HV seu HP, & ita KI ad KP, & divisim ut CB ad CE ita PI ad PK, & duplicatis consequentibus ut CB ad 2CE ita PI ad PV.
Es, por tanto, el decremento de la línea VP, esto es, el incremento de la línea BV - VP, al incremento de la línea curva AP en la razón dada de CB a 2CE, y por consiguiente (por el Corol. del Lem. IV.) las longitudes BV - VP y AP generadas por esos incrementos están en la misma razón.
Sed existente BV radio, est VP cosinus anguli VPB seu ½BEP, adeoq; BV - VP sinus versus ejusdem anguli, & propterea in hac Rota cujus radius est ½BV, erit BV - VP duplus sinus versus arcus ½BP.
Ergo AP est ad duplum sinum versum arcus ½BP ut 2CE ad CB.
Q. E. D.
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La línea AP la denominaremos, en aras de la distinción, cicloide exterior a la esfera en la proposición anterior, y la otra, cicloide interior a la esfera en la posterior.
Corol. 1. Hinc si describatur Cyclois integra ASL & bisecetur ea in S, erit longitudo partis PS ad longitudinem VP (quæ duplus est sinus anguli VBP, existente EB radio) ut 2CE ad CB atq; adeo in ratione data.
Corol. 2. Et longitudo semiperimetri Cycloidis AS æquabitur lineæ rectæ, quæ est ad Rotæ diametrum BV ut 2CE ad CB.
Corol. 3. Ideoq; longitudo illa est ut rectangulum BEC, si modo Globi detur semidiameter.