Cas. 6. Y si de corpúsculos innumerables p se compone una Esfera nueva situada dentro de la esfera anterior ACBD, se probará como antes, que la atracción, ya sea la simple de una Esfera sobre la otra, ya la mutua de ambas entre sí, será como la distancia de los centros pS. Q. E. D.
Prop. LXXVIII. Theor. XXXVIII.
* Si Sphæræ in progressu a centro ad circumferentiam sint utcunq; dissimilares & inæquabiles, in progressu vero per circuitum ad datam omnem a centro distantiam sint undiq; similares; & vis attractiva puncti cujusq; sit ut distantia corporis attracti: dico quod vis tota qua hujusmodi Sphæræ duæ se mutuo trahunt sit proportionalis distantiæ inter centra Sphærarum.
Página 203
Se demuestra a partir de la Proposición precedente, del mismo modo en que la Proposición LXXVII fue demostrada a partir de la Proposición LXXV.
Corol. Quæ superius in Propositionibus X. & LXIV. de motu corporum circa centra Conicarum Sectionum demonstrata sunt, valent ubi attractiones omnes fiunt vi Corporum Sphæricorum, conditionis jam descriptæ, suntq; corpora attracta Sphæræ conditionis ejusdem.
# Escolio.
Ya he expuesto dos casos más notables de atracciones; a saber, cuando las fuerzas centrípetas decrecen en razón duplicada de las distancias, o crecen en razón simple de las distancias; haciendo en ambos Casos que los cuerpos giren en Secciones Cónicas, y componiendo las fuerzas centrípetas de los cuerpos Esféricos que decrecen o crecen con las mismas leyes al alejarse del centro.
Lo cual es digno de ser notado. Sería largo recorrer uno por uno los demás Casos, que presentan conclusiones menos elegantes; preferiría comprenderlos y determinarlos todos a la vez mediante un método general, como sigue.
# Lema XXIX.
*Si describantur centro*S*circulus quilibet*AEB*,* (Vide Fig. Prop. sequentis) *& centro*P*circuli duo*EF*,*ef*, secantes priorem in*E*,*e*, lineamq;*PS*in*F*,*f*; & ad*PS*demittantur perpendicula*ED*,*ed*: dico quod si distantia arcuum*EF*,*ef*in infinitum minui intelligatur, ratio ultima lineæ evanescentis*Dd*ad lineam evanescentem*Ff*ea sit, quæ lineæ*PE*ad lineam*PS*.*
Nam si linea Pe secet arcum EF in q; & recta Ee, quæ cum arcu evanescente Ee coincidit, producta occurrat rectæ PS in T; & ab S demittatur in PE normalis SG: ob similia triangula EDT, edt, EDS; erit Dd ad Ee, ut DT ad ET seu DE ad Page 204 ES, & ob triangula Eqe, ESG (per Lem. VIII. & Corol. 3. Lem. VII.) similia, erit Ee ad qe seu Ff, ut ES ad SG, & ex æquo Dd ad Ff ut DE ad SG; hoc est (ob similia triangula PDE, PGS) ut PE ad PS.
Q. E. D.