*Si recta*AE*& Curva*AC*positione datæ se mutuo secent in angulo dato*A*, & ad rectam illam in alio dato angulo ordinatim applicentur*BD*,*EC*, curvæ occurrentes in*B*,*C*; dein puncta*B*,*C*accedant ad punctum*A*: dico quod areæ triangulorum*ADB*,*AEC*erunt ultimo ad invicem in duplicata ratione laterum.*
Y en verdad, prolongandose AD y tómense Ad, Ae proporcionales a las mismas AD, AE, y levántense ordenadas db, ec paralelas y proporcionales a las ordenadas DB, EC.
Prodúzcase AC hasta c, condúzcase la curva Abc semejante a la misma ABC, y la recta Ag toque a ambas curvas en A; y córtense las aplicadas ordenadamente en F, G, f, g.
Entonces, coencidan los puntos B, C con el punto A, y difuminándose el ángulo cAg, coencidirán las áreas curvilíneas Abd, Ace con las rectilíneas Afd, Age, y por tanto por el Lema V, estarán en la Página 32 en razón duplicada de los lados Ad, Ae: Mas a estas áreas son siempre proporcionales las áreas ABD, ACE, y a estos lados los lados AD, AE.
Por ende, también las áreas ABD, ACE están últimamente en razón duplicada de los lados AD, AE. Q. E. D.
Lema X.
*Spatia, quæ corpus urgente quacunq; vi regulari describit, sunt ipso motus initio in duplicata ratione temporum.*
Exponantur tempora per lineas AD, AE, & velocitates genitæ per ordinatas DB, EC, & spatia his velocitatibus descripta erunt ut areæ ABD, ACE his ordinatis descriptæ, hoc est ipso motus initio (per Lemma IX) in duplicata ratione temporum AD, AE. Q. E. D.
Corol. 1. Et hinc facile colligitur, quod corporum similes similium figurarum partes temporibus proportionalibus describentium errores, qui viribus æqualibus in partibus istis ad corpora similiter applicatis generantur, & mensurantur a locis figurarum, ad quæ corpora temporibus ijsdem proportionalibus absq; viribus istis pervenirent, sunt ut quadrata temporum in quibus generantur quam proxime.
Corol. 2. Errores autem qui viribus proportionalibus similiter applicatis generantur, sunt ut vires & quadrata temporum conjunctim.
# Lema XI.
*Subtensa evanescens anguli contactus est ultimo in ratione duplicata subtensæ arcus contermini.*