Corol. 3. Si con centro C y vértice principal V se describe una sección cónica cualquiera VRS, y desde un punto cualquiera suyo R se traza la tangente RT que corta al eje prolongado indefinidamente CV en el punto T; después, uniendo CR, se traza la recta CP, que sea igual a la abscisa CT, y constituya un ángulo VCP proporcional al sector VCR; tienda además hacia el centro C una fuerza centrípeta inversamente proporcional al cubo de la distancia de los lugares al centro, y salga un cuerpo del lugar V con la velocidad justa según una línea recta perpendicular a CV: dicho cuerpo progesará en la trayectoria que el punto P toca perpetuamente; y por tanto, si la sección cónica CVRS es una hipérbola, el mismo descenderá hacia el centro: mas si aquella es una elipse, ascenderá perpetuamente y se irá al infinito.
Y por el contrario, si un cuerpo sale con una velocidad cualquiera del lugar V, y según haya empezado a descender oblicuamente hacia el centro, o a ascender oblicuamente desde él, la figura CVRS sea hipérbola o elipse, se puede hallar la trayectoria aumentando o disminuyendo el ángulo VCP en una razón dada cualquiera.
Mas también, vuelta la fuerza centrípeta en centrífuga, ascenderá el cuerpo oblicuamente en la trayectoria VPQ que se halla tomando el ángulo VCP proporcional al sector elíptico CVRC, y la longitud CP igual a la longitud CT: como arriba.
Se siguen todas estas cosas de la Página 131 de la proposición precedente, mediante la cuadratura de cierta curva, cuya invención, por considerarla bastante fácil, la omito en gracia de la brevedad.
Prop. XLII. Prob. XXIX.
*Data lege vis centripetæ, requiritur motus corporis de loco dato data cum velocitate secundum datam rectam egressi.*
Manténense las cosas que en las tres Proposiciones precedentes: salga el cuerpo del lugar I según la línea pequeña IT, con aquella velocidad que otro cuerpo, por alguna fuerza centrípeta uniforme, cayendo desde el lugar P, podría adquirir en D: y sea esta fuerza uniforme a la fuerza con que el primer cuerpo es impelido en I, como DR a DF.
Prosiga, empero, el cuerpo hacia k; y con el centro C y el intervalo Ck descríbase un círculo ke que concurra con la recta PD en e, y levántense las aplicadas ordenadamente em, eg, ev, ew de las líneas curvas ALMm, BFGg, abzv, dcxw.
Por el rectángulo dado PDRQ, y dada la ley de la fuerza centrípeta con que el primer cuerpo es agitado, se dan las líneas curvas BFGg, ALMm, por la construcción del Problema XXVIII y de su Corolario 1.
Después, por el ángulo dado CIT se da la proporción de los que nacen IK, KN y de ahí, por la construcción del Prob. XXVIII, se da la cantidad Q, juntamente con las líneas curvas abzv, dcxw: por lo cual, completado un tiempo cualquiera Dbve, se da tanto la altitud del cuerpo Ce o Ck, como el área Dcwe, y el Sector XCy igual a ella, y el ángulo XCy y el lugar k en el que el cuerpo entonces se hallará. Q. E. I.
Suponemos además en estas Proposiciones que la fuerza centrípeta, al alejarse del centro, varía según cualquier ley que uno pueda imaginar, pero que a iguales distancias del centro es por doquier la misma. Y hasta aquí hemos considerado [el movimiento] de los cuerpos en órbitas inmóviles. Resta que añadamos pocas cosas acerca de su movimiento en las órbitas que giran en torno al centro de las fuerzas.