Cas. 2. Dado un foco S, debe describirse una Trayectoria que toque en alguna parte dos rectas TR, tr. Desde el foco baja perpendiculares ST, St a las tangentes y prodúzcanse las mismas hasta V, v, de modo que TV, tv sean iguales a TS, ts. Biséquese Vv en O, y eríjase la perpendicular infinita OH, y corta la recta VS producida infinitamente en K y k de tal manera que VK sea a KS y Vk a kS como el eje transverso de la trayectoria por describir es a la distancia de los focos.
Sobre el diámetro Kk descríbase un círculo que corte la recta OH en H; y con los focos S, H, y un eje transverso igual al mismo VH, descríbase una Trayectoria. Digo que está hecho.
Pues biséquese Kk en X, y únanse HX, HS, HV, Hv. Puesto que VK es a KS como Vk es a kS; y por composición como VK + Vk es a KS + kS; y por división como Vk - VK es a kS - KS esto es como 2VX a 2KX y 2KX a 2SX, por tanto como VX a HX y HX a SX, serán semejantes los triángulos VXH, HXS, y por ende VH será a SH como VX a XH, por tanto como VK a KS. Tiene, pues, la trayectoria descrita un eje transverso VH con esa razón respecto a la distancia de sus focos SH, que la que tiene el eje transverso de la trayectoria por describir con respecto a la distancia de sus focos, y por ende es de la misma especie. Además, como VH, vH se igualan al eje transverso, y VS, vS son bisecadas perpendicularmente por las rectas TR, tr, es evidente, por el Lema XV, que esas rectas tocan la trayectoria descrita.
Q. E. F.