Exponatur vis illa per eundem arcum; & cum resistentia sit ut momentum temporis, adeoque detur, exponatur eadem per datam arcus Cycloidis partem CO , & sumatur arcus Od in ratione ad arcum CD quam habet arcus OB ad arcum CB : & vis qua corpus in d urgetur in Medio resistente, cum sit excessus vis Cd supra resistentiam CO , exponetur per arcum Od , adeoque erit ad vim qua corpus D urgetur in Medio non resistente, in loco D , ut arcus Od ad arcum CD ; & propterea etiam in loco B ut arcus OB ad arcum CB . Proinde si corpora duo, D , d exeant de loco Page 306 B & his viribus urgeantur: cum vires sub initio sint ut arcus CB & OB , erunt velocitates primæ & arcus primo descripti in eadem ratione. Sunto arcus illi BD & Bd , & arcus reliqui CD , Od erunt in eadem ratione. Proinde vires ipsis CD , Od proportionales manebunt in eadem ratione ac sub initio, & propterea corpora pergent arcus in eadem ratione simul describere. Igitur vires & velocitates & arcus reliqui CD , Od semper erunt ut arcus toti CD , OB , & propterea arcus illi reliqui simul describentur. Quare corpora duo D , d simul pervenient ad loca C & O , alterum quidem in Medio non resistente ad locum C , & alterum in Medio resistente ad locum O . Cum autem velocitates in C & O sint ut arcus CB & OB ; erunt arcus quos corpora ulterius pergendo simul describunt, in eadem ratione. Sunto illi CE & Oe . Vis qua corpus D in Medio non resistente retardatur in E est ut CE , & vis qua corpus d in Medio resistente retardatur in e est ut summa vis Ce & resistentiæ CO , id est ut Oe ; ideoque vires, quibus corpora retardantur, sunt ut arcubus CE , Oe proportionales arcus CB , OB ; proindeque velocitates in data illa ratione retardatæ manent in eadem illa data ratione. Velocitates igitur & arcus iisdem descripti semper sunt ad invicem in data illa ratione arcuum CB & OB ; & propterea si sumantur arcus toti AB , aB in eadem ratione, corpora D , d simul describent hos arcus, & in locis A & a motum omnem simul amittent. Isochronæ sunt igitur oscillationes totæ, & arcubus totis BA , BE proportionales sunt arcuum partes quælibet BD , Bd vel BE , Be quæ simul describuntur. Q. E. D.
Corol. Igitur motus velocissimus in Medio resistente non incidit in punctum infimum C, sed reperitur in puncto illo O, quo arcus totus descriptus aB bisecatur. Et corpus subinde pergendo ad a, iisdem gradibus retardatur quibus antea accelerabatur in descensu suo a B ad O.
Page 307
Prop. XXVI. Theor. XX.
*Corporum Funependulorum, quæ resistuntur in ratione velocitatum, oscillationes in Cycloide sunt Isochronæ.*
Nam si corpora duo a centris suspensionum æqualiter distantia, oscillando describant arcus inæquales, & velocitates in arcuum partibus correspondentibus sint ad invicem ut arcus toti; resistentiæ velocitatibus proportionales erunt etiam ad invicem ut iidem arcus. Proinde si viribus motricibus a gravitate oriundis, quæ sint ut iidem arcus auferantur, conferantur vel addantur hæ resistentiæ, erunt differentiæ vel summæ ad invicem in eadem arcuum ratione: cumque velocitatum incrementa vel decrementa sint ut hæ differentiæ vel summæ, velocitates semper erunt ut arcus toti: Igitur velocitates, si sint in aliquo casu ut arcus toti, manebunt semper in eadem ratione.