Quo demonstrato, consequens est etiam ut areæ his lineis descriptæ sint in progressione consimili cum spatiis quæ velocitatibus describuntur.
Ergo si velocitas initio primi temporis AK exponatur per lineam AB, & velocitas initio secundi KL per lineam Kk, & longitudo primo tempore descripta per arcam AKkB, velocitates omnes subsequentes exponentur per lineas subsequentes Ll, Mm, &c. & longitudines descriptæ per areas Kl, Lm, &c. & composite, si tempus totum exponatur per summam partium suarum AM, longitudo tota descripta exponetur per summam partium suarum AMmB.
Concibe ahora que el tiempo AM se divida en partes AK, KL, LM, etc., de modo que CA, CK, CL, CM, etc., estén en progresión geométrica, y aquellas partes estarán en la misma progresión, y las velocidades AB, Kk, Ll, Mm, etc., en la misma progresión inversa, y los espacios descritos Ak, Kl, Lm, etc., serán iguales. Q. E. D.
Corol. 1. Patet ergo quod si tempus exponatur per Asymptoti partem quamvis AD, & velocitas in principio temporis per ordinatim applicatam AB; velocitas in fine temporis exponetur per ordinatam DG, & spatium totum descriptum per aream Hyperbolicam adjacentem ABGD; necnon spatium quod corpus aliquod eodem tempore AD, velocitate prima AB in Medio non resistente describere posset, per rectangulum AB × AD.
Corol. 2. Unde datur spatium in Medio resistente descriptum, capiendo illud ad spatium quod velocitate uniformi AB in Medio non resistente simul describi posset, ut est area Hyperbolica ABGD ad rectangulum AB × AD.
Corol. 3. Datur etiam resistentia Medii, statuendo eam ipso motus initio æqualem esse vi uniformi centripetæ, quæ, in cadente corpore, tempore AC, in Medio non resistente, generare posset velocitatem AB. Nam si ducatur BT quæ tangat Hyperbolam Page 248 in B, & occurrat Asymptoto in T; recta AT æqualis erit ipsi AC, & tempus exponet quo resistentia prima uniformiter continuata tollere posset velocitatem totam AB.
Corol. 4. Y de ahí se da también la proporción de esta resistencia a la fuerza de gravedad, u otra fuerza centrípeta dada cualquiera.
Corol. 5. Y viceversa, si se da la proporción de la resistencia a una fuerza centrípeta dada cualquiera, se da el tiempo AC, en el cual la fuerza centrípeta igual a la resistencia puede generar una velocidad cualquiera AB; y de ahí se da el punto B por el cual debe describirse la hipérbola con las asíntotas CH, CD; así como el espacio ABGD, que el cuerpo, al empezar su movimiento con aquella velocidad AB, en un tiempo cualquiera AD, puede describir en un medio similar resistente.