el plano dado, la cual se debe hallar. Únanse CQ , QS , y si en QS se toma SV proporcional a la fuerza centrípeta con la cual el cuerpo es atraído hacia el centro S , y se conduce VT que sea paralela a CQ y ocurra a SC en T : la fuerza SV se resolverá (por el Corol. 2 de las Leyes) en las fuerzas ST , TV ; de las cuales ST , al atraer al cuerpo según una línea perpendicular al plano, no altera en nada su movimiento en este plano. La otra fuerza, en cambio, TV , actuando según la posición del plano, atrae al cuerpo directamente hacia el punto C dado en el plano Page 146, y por lo tanto hace que este se mueva en dicho plano del mismo modo que si la fuerza ST fuera suprimida y el cuerpo girara alrededor del centro C en el espacio libre mediante la sola fuerza TV . Dada, no obstante, la fuerza centrípeta TV con la cual el cuerpo Q gira en el espacio libre alrededor del centro dado C , se da por la Prop. XLII. tanto la trayectoria PQR que el cuerpo describe, como el lugar Q en el que el cuerpo se encontrará en un tiempo dado cualquiera, y finalmente la velocidad del cuerpo en ese lugar Q ; y recíprocamente. Q. E. I.
Prop. XLVII. Theor. XV.
* Posito quod vis centripeta proportionalis sit distantiæ corporis a centro; corpora omnia in planis quibuscunq; revolventia describent Ellipses, & revolutiones temporibus æqualibus peragent; quæq; moventur in lineis rectis ultro citroq; discurrendo, singulas eundi & redeundi periodos iisdem temporibus absolvent.
Nam stantibus quæ in superiore Propositione; vis SV qua corpus Q in plano quovis PQR revolvens trahitur versus centrum S est ut distantia SQ; atq; adeo ob proportionales SV & SQ, TV & CQ, vis TV qua corpus trahitur versus punctum C in Orbis plano datum, est ut distantia CQ.
Vires igitur, quibus corpora in plano PQR versantia trahuntur versus punctum C, sunt pro ratione distantiarum æquales viribus quibus corpora unaquaq; trahuntur versus centrum S; & propterea corpora movebuntur iisdem temporibus in iisdem figuris in plano Page 147 quovis PQR circa punctum C, atq; in spatiis liberis circa centrum S, adeoq; (per Corol. 2. Prop. X. & Corol. 2. Prop. XXXVIII.) temporibus semper æqualibus, vel describent Ellipses in plano illo circa centrum C, vel periodos movendi ultro citroq; in lineis rectis per centrum C in plano illo ductis, complebunt.
Q. E. D.
# Escolio.
Huc affines sunt ascensus ac descensus corporum in superficiebus curvis. Concipe lineas curvas in plano describi, dein circa axes quosvis datos per centrum virium transeuntes revolvi, & ea revolutione superficies curvas describere; tum corpora ita moveri ut eorum centra in his superficiebus perpetuo reperiantur. Si corpora illa oblique ascendendo & descendendo currant ultro citroq; peragentur eorum motus in planis per axem transeuntibus, atq; adeo in lineis curvis quarum revolutione curvæ illæ superficies genitæ sunt. Istis igitur in casibus sufficit motum in his lineis curvis considerare.