Quoniam AK est ut APq., erit hujus momentum KL ut illius momentum 2APQ, id est ut AP in KC. Nam velocitatis incrementum PQ, per motus Leg. 2. proportionale est vi generanti KC.
Componatur ratio ipsius KL cum ratione ipsius KN, & fiet rectangulum KL × KN ut AP × KC × KN; hoc est, ob datum rectangulum KC × KN, ut AP.
Atqui areæ Hyperbolicæ Page 255 KNOL ad rectangulum KL × KN ratio ultima, ubi coeunt puncta K & L, est æqualitatis. Ergo area illa Hyperbolica evanescens est ut AP. Componitur igitur area tota Hyperbolica ABOL ex particulis KNOL velocitati AP semper proportionalibus, & propterea spatio velocitate ista descripto proportionalis est.
Dividatur jam area illa in partes æquales ABMI, IMNK, KNOL, &c. & vires absolutæ AC, IC, KC, LC, &c. erunt in progressione Geometrica. Q. E. D.
Y por un argumento semejante, tomándolas en el ascenso del cuerpo hacia la parte contraria al punto A, para las áreas iguales ABmi, imnk, knol, &c., constará que las fuerzas absolutas AC, iC, kC, lC, &c. son continuamente proporcionales. Y por tanto, si todos los espacios en el ascenso y descenso se toman iguales, todas las fuerzas absolutas lC, kC, iC, AC, IC, KC, LC, &c. serán continuamente proporcionales. Q. E. D.
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Corol. 1. Hinc si spatium descriptum exponatur per aream Hyperbolicam ABNK; exponi possunt vis gravitatis, velocitas corporis & resistentia Medii per lineas AC, AP & AK respective; & vice versa.
Corol. 2. Et velocitatis maximæ, quam corpus in infinitum descendendo potest unquam acquirere, exponens est linea AC.
Corol. 3. Igitur si in data aliqua velocitate cognoscatur resistentia Medii, invenietur velocitas maxima, sumendo ipsam ad velocitatem illam datam in dimidiata ratione, quam habet vis Gravitatis ad Medii resistentiam illam cognitam.
Corol. 4. Pero también la partícula de tiempo, en el que se describe la partícula de espacio mínimo NKLO en el descenso, es como el rectángulo KN × PQ. Pues puesto que el espacio NKLO es como la velocidad multiplicada por la partícula de tiempo; la partícula de tiempo será como aquel espacio aplicado a la velocidad, es decir, como el rectángulo mínimo KN × KL aplicado a AP. Arriba era KL como AP × PQ. Por tanto, la partícula de tiempo es como KN × PQ, o lo que es igual, como PQ ÷ CK. Q. E. D.
Corol. 5. Eodem argumento particula temporis, quo spatii particula nklo in ascensu describitur, est ut pq ÷ Ck.
Prop. IX. Theor. VII.
*Positis jam demonstratis, dico quod si Tangentes angulorum sectoris Circularis & sectoris Hyperbolici sumantur velocitatibus proportionales, existente radio justæ magnitudinis: erit tempus omne ascensus futuri ut sector Circuli, & tempus omne descensus præteriti ut sector Hyperbolæ.*