Etenim de angulis rectis OPQ, OQR subducantur anguli æquales SPQ, SQR, & manebunt anguli æquales OPS, OQS. Ergo circulus qui transit per puncta O, S, P transibit etiam per punctum Q. Coeant puncta P & Q, & hic circulus in loco coitus PQ tanget Spiralem, adeoque perpendiculariter secabit rectam OP. Fiet igitur OP diameter circuli hujus, & angulus OSP in semicirculo rectus.
Q. E. D.
Desde OP bájense las perpendiculares QD, SE, y las razones últimas de las líneas serán de este tipo: TQ a PD como TS o PS a PE, o PO a PS. Asimismo, PD a PQ como PQ a PO. Y, ex æquo perturbate, TQ a PQ como PQ a PS. De donde resulta que PQq. es igual a TQ × PS.
Q. E. D.
Page 284
Prop. XV. Theor. XI.
* Si Medii densitas in locis singulis sit reciproce ut distantia locorum a centro immobili, sitque vis centripeta in duplicata ratione densitatis: dico quod corpus gyrari potest in Spirali, quæ radios omnes a centro illo ductos intersecat in angulo dato.
Ponantur quæ in superiore Lemmate, & producatur SQ ad V , ut sit SV æqualis SP . Temporibus æqualibus describat corpus arcus quam minimos PQ & QR , sintque areæ PSQ , QSr æquales. Et quoniam vis centripeta, qua corpus urgetur in P est reciproce ut SPq. & (per Lem. X. Lib. I.) lineola TQ , quæ vi illa generatur, est in ratione composita ex ratione hujus vis & ratione duplicata temporis quo arcus PQ describitur, (Nam resistentiam in hoc casu, ut infinite minorem quam vis centripeta negligo) erit TQ × SPq. id est (per Lemma novissimum) PQq. × SP , in ratione duplicata temporis, adeoque tempus est ut PQ × √ SP , & corporis velocitas qua arcus PQ illo tempore describitur ut PQ ÷ { PQ × √ SP } seu 1 ÷ √ SP , hoc est in dimidiata ratione ipsius SP reciproce. Et simili argumento velocitas, qua arcus QR describitur, est in dimidiata ratione ipsius SQ reciproce. Sunt autem arcus illi PQ & QR ut velocitates descriptrices ad invicem, id est in dimidiata ratione SQ ad SP , sive ut SQ ad √ SP × √ SQ ; & ob æquales angulos SPQ , SQr & æquales areas PSQ , QSr , est arcus Page 285 PQ ad arcum Qr ut SQ ad SP . Sumantur proportionalium consequentium differentiæ, & fiet arcus PQ ad arcum Rr ut SQ ad SP - SP ½ × SQ ½ , seu ½ VQ ; nam punctis P & Q coeuntibus, ratio ultima SP - SP ½ × SQ ½ ad ½ VQ fit æqualitatis. In Medio non resistente areæ æquales PSQ , QSr (Theor. I. Lib. I.) temporibus æqualibus describi deberent. Ex resistentia oritur arearum differentia RSr , & propterea resistentia est ut lineolæ Qr decrementum Rr collatum cum quadrato temporis quo generatur. Nam lineola Rr (per Lem. X. Lib. I.) est in duplicata ratione temporis. Est igitur resistentia ut Rr ÷ { PQq. × SP }. Erat autem PQ ad Rr ut SQ ad ½ VQ , & inde Rr ÷ { PQq. × SP } fit ut ½ VQ ÷ { PQ × SP × SQ } sive ut ½ OS ÷ { OP × SPq. }. Namque punctis P & Q coeuntibus, SP & SQ coincidunt; & ob similia triangula PVQ , PSO , fit PQ ad ½ VQ ut OP ad ½ OS . Est igitur OS ÷ { OP × SPq. } ut resistentia, id est in ratione densitatis Medii in P & ratione duplicata velocitatis conjunctim. Auferatur duplicata ratio velocitatis, nempe ratio 1 ÷ SP , & manebit Medii densitas in P ut OS ÷ { OP × SP }.