Cas. 1. Supóngase en primer lugar que las líneas trazadas hacia los lados opuestos son paralelas a uno cualquiera de los lados restantes, por ejemplo PQ y PR al lado AC, y PS y PT al lado AB. Y sean además dos de los lados opuestos, por ejemplo AC y BD, paralelos. Y la recta que biseca aquellos lados paralelos será uno de los diámetros de la sección cónica, y bisecará también a RQ. Sea O el punto en el que se biseca a RQ, y PO será una ordenada aplicada a dicho diámetro. Prodúzcase PO hasta K de modo que OK sea igual a PO, y OK será una ordenada aplicada a las partes contrarias del diámetro. Puesto que, por lo tanto, los puntos A, B, P y K están en la sección cónica, y PR corta a AB en un ángulo dado, el rectángulo PQK estará (por las Prop. 17 y 18 del Lib. III de Apolonio) respecto al rectángulo AQB en una razón dada. Pero QK y PR son iguales, por ser diferencias de los iguales OK, OP, y OQ, OR, y de ahí también Page 71 los rectángulos PQK y PQ × PR son iguales; y por tanto el rectángulo PQ × PR está respecto al rectángulo AQB, esto es, respecto al rectángulo PS × PT en una razón dada. Q. E. D.
Cas. 2. Ponamus jam Trapezii latera opposita AC & BD non esse parallela. Age Bd parallelam AC & occurrentem tum rectæ ST in t , tum Conicæ sectioni in d . Junge Cd secantem PQ in r , & ipsi PQ parallelam age DM secantem Cd in M & AB in N .