Prop. III. Theor. III.
*Corpus omne quod, radio ad centrum corporis alterius utcunq; moti ducto, describit areas circa centrum illud temporibus proportionales, urgetur vi composita ex vi centripeta tendente ad corpus alterum & ex vi omni acceleratrice, qua corpus alterum urgetur.*
Pues (por el Corolario 6 de las Leyes), si por una nueva fuerza, que sea igual y contraria a aquella con que el segundo cuerpo es urgido, se urge a entrambos cuerpos según líneas paralelas, el primer cuerpo seguirá describiendo en torno al segundo las mismas áreas que antes; la fuerza, en cambio, con que el segundo cuerpo era urgido, quedará ahora destruida por la fuerza igual y contraria a ella, y por lo tanto (por la Ley 1) ese segundo cuerpo o bien estará en reposo o bien se moverá uniformemente en línea recta, y el primer cuerpo, al ser urgido por la diferencia de las fuerzas, seguirá describiendo en torno al segundo áreas proporcionales a los tiempos. La diferencia de las fuerzas tiende, por tanto (por el Teorema 2), hacia aquel segundo cuerpo como centro.
Q. E. D.
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Corol. 1. Hinc si corpus unum radio ad alterum ducto describit areas temporibus proportionales, atq; de vi tota (sive simplici, sive ex viribus pluribus, juxta Legum Corollarium secundum, composita,) qua corpus prius urgetur, subducatur (per idem Legum Corollarium) vis tota acceleratrix qua corpus alterum urgetur; vis omnis reliqua qua corpus prius urgetur tendet ad corpus alterum ut centrum.
Corol. 2. Y si esas áreas son proporcionales a los tiempos con la mayor aproximación, la fuerza restante tenderá hacia el otro cuerpo con la mayor aproximación.
Corol. 3. Y viceversa, si la fuerza restante tiende quamproxime hacia el otro cuerpo, aquellas áreas serán temporibus quamproxime proporcionales.
Corol. 4. Si un cuerpo, guiado hacia otro cuerpo, describe áreas que, comparadas con los tiempos, son muy desiguales, y ese otro cuerpo o bien reposa o bien se mueve uniformemente en línea recta; la acción de la fuerza centrípeta tendente hacia ese otro cuerpo, o es nula, o se mezcla y compone con las acciones muy potentes de otras fuerzas: Y la fuerza total compuesta por todas ellas, si son varias las fuerzas, se dirige hacia otro centro (ya inmóvil, ya móvil) alrededor del cual es equable la descripción de las áreas. Lo mismo se verifica cuando el otro cuerpo se mueve con un movimiento cualquiera, con tal de que se tome la fuerza centrípeta que resta tras la sustracción de la fuerza total que actúa sobre ese otro cuerpo.
# Escolio
Quoniam æquabilis arearum descriptio Index est centri quod vis illa respicit qua corpus maxime afficitur, corpus autem vi ad hoc centrum tendente retinetur in orbita sua, & motus omnis circularis recte dicitur circa centrum illud fieri, cujus vi corpus retrahitur de motu rectilineo & retinetur in Orbita: quidni usurpemus in sequentibus æquabilem arearum descriptionem ut Indicem centri circum quod motus omnis circularis in spatiis liberis peragitur?
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