Y si la fuerza que se aleja del centro o decrece en una razón menor que la triplicada de la altitud, o crece en cualquier razón de la altitud, el cuerpo nunca descenderá hasta el centro, sino que alguna vez llegará a la ápside baja: y al contrario, si un cuerpo que desciende y asciende alternadamente de ápside a ápside nunca llega al centro, la fuerza que se aleja del centro o bien aumentará, o bien decrecerá en una razón de la altitud menor que la triplicada; y cuanto más rápidamente regrese el cuerpo de ápside a ápside, tanto más se apartará la razón de las fuerzas de aquella razón triplicada.
De suerte que si un cuerpo, mediante un descenso y ascenso alternativos, hubiere vuelto de la Ápside suprema a la Ápside suprema en 8, o 4, o 2, o 11/2 revoluciones, esto es, si m fuere a n como 8, o 4, o 2, o 11/2 es a 1, y por tanto nn/mm - 3 valiere 1/64 - 3, o 1/16 - 3, o 1/4 - 3, o 4/9 - 3, la fuerza será como A1/64 - 3, o A1/16 - 3, o A1/4 - 3, o A4/9 - 3, esto es, recíprocamente como A3 - 1/64, o A3 - 1/16, o A3 - 1/4, o A3 - 4/9.
Si corpus singulis revolutionibus redierit ad Apsidem eandem immotam, erit m ad n ut 1 ad 1, adeoq; Ann/mm - 3 æqualis A-2 seu 1 ÷ A2, & propterea decrementum virium in ratione duplicata altitudinis, ut in præcedentibus demonstratum est.
Si el cuerpo, en una o tres cuartas partes, o dos terceras, o una tercera, o una cuarta parte de una revolución, hubiere vuelto a la misma ápside, m será a n como 3/4 o 2/3 o 1/3 o 1/4 a 1, y por tanto Ann/mm - 3 igual a A16/9 - 3 o A9/4 - 3 o A9 - 3 o A16 - 3 y por consiguiente la Fuerza o recíprocamente como A11/9 o A3/4, o directamente como A6 o A13.
Denique; si Corpus pergendo ab Apside summa ad Apsidem summam confecerit revolutionem integram, & præterea gradus tres, adeoq; Apsis illa singulis corporis revolutionibus confecerit in Consequentia gradus tres, erit m ad n ut 363gr. ad 360gr. adeoq; Ann/mm - 3 erit æquale A-265707÷131769, & propterea Vis centripeta reciproce ut A265707÷131769 seu A24/243.
Decrescit igitur Vis centripeta in ratione paulo majore quam duplicata, sed quæ vicibus 603/4 propius ad duplicatam quam ad triplicatam accedit.
Corol. 2. Hinc etiam si corpus, vi centripeta quæ sit reciproce ut quadratum altitudinis, revolvatur in Ellipsi umbilicum habente in centro virium, & huic vi centripetæ addatur vel auferatur vis alia quævis extranea; cognosci potest (per Exempla Page 144 tertia) motus Apsidum qui ex vi illa extranea orietur: & contra. Ut si vis qua corpus revolvitur in Ellipsi sit ut 1 ÷ A2, & vis extranea ablata ut cA, adeoq; vis reliqua ut {A - cA4} ÷ A3; erit (in Exemplis tertiis) A æqualis 1 & n æqualis 4, adeoq; angulus revolutionis inter Apsides æqualis angulo graduum 180√{{1 - c} ÷ {1 - 4c}}. Ponatur vim illam extraneam esse 357,45 vicibus minorem quam vis altera qua corpus revolvitur in Ellipsi, id est c esse 100 ÷ 35745, & 180√{{1 - c} ÷ {1 - 4c}} evadet 180√{35645 ÷ 35345} seu 180,7602, id est 180gr. 45m. 37s. Igitur corpus de Apside summa discedens, motu angulari 180gr. 45m. 37s. perveniet ad Apsidem imam, & hoc motu duplicato ad Apsidem summam redibit: adeoq; Apsis summa singulis revolutionibus progrediendo conficiet 1gr. 31m. 14s.
Hasta aquí sobre el movimiento de los cuerpos en órbitas cuyos planos pasan por el centro de las fuerzas. Resta que determinemos también el movimiento en planos excéntricos. Pues los autores que tratan el movimiento de los graves suelen considerar los ascensos y descensos de los pesos, tanto oblicuos en cualesquiera planos dados, como perpendiculares: y con igual derecho debe